Физика (стр. 5 )

.

Число оборотов в единицу времени называется частотой вращения. Значит, частота равна

.

Пусть за время величина угловой скорости изменилась на . Предел отношения изменения угловой скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, при промежутке времени, стремящемся к нулю, называется угловым ускорением, т. е., по определению, угловое ускорение есть векторная величина, равная производной от угловой скорости по времени:

.

При вращательном движении тела выделяют и линейную скорость. Это скорость, с которой точка движется по окружности. Величина линейной скорости, т. е. ее модуль, любой точки вращающегося тела определяется угловой скоростью и расстоянием рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за время тело повернулось на малый угол (рис. 1.1.4).

Рис. 1.1.4

Точка тела, находящаяся от оси вращения на расстоянии , проходит при этом путь , и модуль линейной скорости составляет

.

Рассматривая радиус как радиус-вектор точки, последнее равенство можно записать в векторном виде . Но . Значит, действительно . Направление вектора определяется правилом правого винта, т. е. вектор направлен по касательной к окружности в сторону вращения.

Пример 5. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса.

Решение. Угловая скорость всех точек вращающегося колеса одинакова и связана с линейной скоростью любой точки колеса соотношением , где – расстояние точки от оси вращения. Обозначим через радиус обода колеса. Тогда расстояние до оси от точки, лежащей на 5 см ближе к оси, будет . В силу равенства угловых скоростей обеих точек получаем: . По условию, . Отсюда

.

Пример 6. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости через оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

Решение. При равнопеременном вращательном движении имеют место следующие два уравнения движения:

По условию , и уравнения принимают вид: и . Решая совместно эти уравнения и учитывая, что , получаем окончательно:.

1.1.5. Нормальное и тангенциальное ускорения

Для того чтобы тело двигалось криволинейно, линейная скорость каждой точки тела должна постоянно менять свое направление. При любом положении точки это направление есть направление касательной к траектории. Значит, точка должна постоянно испытывать ускорение, направленное к центру кривизны, т. е. перпендикулярно направлению скорости. Это ускорение называется нормальным.

Если криволинейное движение неравномерное и линейная скорость меняется не только по направлению, но и по величине, значит, движущееся тело испытывает ускорение и в направлении вектора скорости, т. е. в направлении касательной к траектории. Это ускорение называется тангенциальным.

Получим выражения для нормального и тангенциального ускорений. Рассмотрим плоское движение, т. е. такое, при котором все участки траектории частицы лежат в одной плоскости (рис. 1.1.5). Вектор задает скорость частицы (точки) в момент времени . За время точка перешла в положение и приобрела скорость, отличную от как по модулю, так и по направлению и равную . Перенесем вектор в точку и найдем изменение скорости . Разложим вектор на две составляющие. Для этого из точки по направлению скорости отложим вектор , равный по модулю . Очевидно, что вектор , равный , определяет изменение скорости по модулю за время : . Вторая же составляющая вектора вектор характеризует изменение скорости за время по направлению.

Рис. 1.1.5

Тангенциальная составляющая ускорения:

,

т. е. равна производной по времени от модуля скорости (характеризует быстроту изменения скорости по модулю).

Допустим, что точка достаточно близка к точке , вследствие чего участок криволинейной траектории можно считать дугой окружности радиуса , причем дуга мало отличается от хорды . Тогда , откуда следует . Но , значит . При имеем . Поскольку это так, то стремится к нулю. – равнобедренный, из чего следует, что между и стремится к прямому. Следовательно, при векторы и оказываются взаимно перпендикулярными. Вектор направлен по касательной к траектории, значит, вектор направлен к центру кривизны траектории. Модуль этой составляющей ускорения будет равен