Физика (стр. 28 )

.

Пример 4. В баллоне емкостью содержится смесь азота и окиси азота . Определить массу окиси азота, если масса смеси равна , температура и давление .

Решение. Закон Дальтона гласит: «Давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов». Значит, . Для каждой компоненты смеси запишем уравнение Менделеева–Клайперона: . Здесь – масса азота в смеси; – масса окиси азота в смеси. Используя таблицу Менделеева, находим молярные массы компонент смеси:

.

Подставляя в выражение для давления смеси данные задачи, получаем: .

2.1.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Уравнение Клапейрона–Менделеева связывает давление газа с его температурой. Температура определяет интенсивность хаотического движения молекул, т. е. кинетическую энергию молекул. Найдем зависимость давления газа от кинетической энергии молекул.

Рассмотрим упрощенную картину хаотического движения молекул. Будем считать, что молекулы газа движутся вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений (рис. 2.1.1).

Рис. 2.1.1

Если в сосуде молекул, то в любой момент времени вдоль каждого из направлений будет двигаться молекул, причем половина из них (т. е. ) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина – в другую. Следовательно, в интересующем нас направлении (например, по нормали к данному элементу стенки сосуда) движется часть молекул.

Предположим, что все молекулы движутся с одинаковой средней скоростью . Тогда за время до элемента стенки долетят все молекулы, движущиеся по направлению к нему и заключенные в объеме . Число этих молекул равно:

.

Значит, число молекул, ударившихся об единичную площадку в единицу времени, будет равно:

.

Предполагая отражение молекул от стенки зеркальным и считая, что молекулы ударяются о стенку сосуда перпендикулярно, получим, что при ударе каждая молекула передает стенке импульс . (Это легко понять, если принять во внимание, что удар молекулы о стенку сосуда уподобляется удару шара о неподвижную упругую стенку. Скорость молекулы при таком ударе не меняет величины, но изменяет знак (направление) на обратный . Стенка подействовала на молекулу и изменила ее импульс на величину. По третьему закону Ньютона, молекула передала стенке импульс ).

Единичная площадка испытывает в единицу времени ударов. Стало быть, суммарный импульс, полученный площадкой, будет равен . Мы использовали среднюю (среднеарифметическую) скорость молекул . Более точные вычисления показывают, что должна быть использована среднеквадратичная скорость .

Отсюда

.

Импульс, полученный площадкой за единицу времени, равен силе, действующей на площадку , а сила, приходящаяся на единицу площади, – давление, оказываемое газом на стенку сосуда. Значит, . Поскольку , то ее можно внести под знак осреднения:

.

Это уравнение называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории. Оно связывает давление газа со средней кинетической энергией поступательного движения молекул.

Вычислим энергию одной молекулы. Умножив обе части основного уравнения м-к. т. на объем одного моля , получим:

.

Используя уравнение состояния для одного моля и то, что , получаем . Отсюда . Средняя энергия поступательного движения молекул идеального газа не зависит от природы газа и пропорциональна его абсолютной температуре.

Поскольку кинетическая энергия молекулы равна , то из полученной зависимости от следует:

( – молярная масса).

2.1.5. Распределение Максвелла

При упрощенном выводе основного уравнения м-к. т. предполагалось, что скорости всех молекул одинаковы. В действительности же в результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по величине и направлению. Согласно молекулярно-кинетической теории как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул при остается постоянной. Это объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное распределение молекул по скоростям. Это распределение подчиняется статистическому закону, теоретически установленному Максвеллом.

Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы , то на каждый интервал будет приходиться некоторое число молекул , имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Максвелл нашел функцию , определяющую относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале от до : . Пользуясь методами теории вероятности, Максвелл установил вид этой функции:

.

Из графика этой функции (рис. 2.1.2) видно, что функция достигает максимума при некотором значении скорости , называемом наиболее вероятной скоростью. Значение этой скорости можно найти, исследовав функцию на экстремум. Приравняв первую производную по скорости нулю, найдем, что .