Физика (стр. 19 )

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид: . Обозначив и , перепишем последнее уравнение в ином виде: . Это дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания системы. Величина представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды, т. е. при . Эту частоту называют собственной частотой системы.

Решение уравнения затухающих колебаний найдем в виде , где . Произведя подстановку, получим: . При небольшом затухании имеем: ; решением этого уравнения является функция . Таким образом, в случае малых затуханий колеблющаяся величина изменяется по закону: . Здесь – амплитуда затухающих колебаний; – начальная амплитуда.

Скорость затухания колебаний определяется величиной , которую называют коэффициентом затухания. Промежуток времени , в течение которого амплитуда уменьшается в раз, называется временем релаксации. Следовательно, коэффициент затухания обратен времени релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний и, строго говоря, понятие периода к затухающим колебаниям неприменимо. Но при малом затухании условно пользуются понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами или минимумами колеблющейся величины и полагают (рис. 1.4.4).

Рис. 1.4.4

Если и – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания; – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная величина для данной колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы также употребляется величина , называемая добротностью колебательной системы. Как видно из определения, добротность пропорциональна числу колебаний , совершаемых системой за время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в раз.

Пример 6. Логарифмический декремент затухания математического маятника равен . Найти, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника.

Решение. Для амплитуд последовательных затухающих колебаний имеем: и . Отсюда .

1.4.3. Вынужденные колебания

До сих пор мы рассматривали свободные (или собственные) колебания: выведенная из положения равновесия или получившая толчок система совершает колебания, будучи предоставленной самой себе. Теперь пусть колебательная система подвергается действию внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону: . Уравнение второго закона Ньютона в этом случае имеет вид: . Введя обозначения , перепишем уравнение следующим образом: , где . Это уравнение описывает вынужденные колебания.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что решение этого уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения (которое мы только что получили для затухающих колебаний) и частного решения неоднородного уравнения, т. е. решения, не содержащего постоянных. Частное решение легче найти в комплексной форме. (Есть такой прием решения дифференциальных уравнений: если в решаемом уравнении правая часть вещественная, то к ней прибавляют произвольную мнимую функцию и ищут комплексное решение уравнения. Найдя это комплексное решение, берут его вещественную часть. Она и будет представлять собой решение исходного уравнения.) Найденное таким способом частное решение уравнения имеет вид: , где и , т. е. .

Общее решение однородного уравнения было получено ранее: ( и – произвольные постоянные). Общее решение неоднородного уравнения равно сумме . Слагаемое играет роль только в начальной стадии процесса (при увеличении множитель стремится к нулю) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, равного . Графический вид вынужденных колебаний представлен на рис. 1.4.5. В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой и являются гармоническими. Амплитуда и фаза колебаний зависят от частоты.

Рис. 1.4.5

Из выражения для амплитуды видно, что оно имеет экстремальный характер: при некотором значении частоты амплитуда достигает максимума. Это значение частоты называется резонансной частотой. Чтобы найти его, необходимо найти максимум выражения для амплитуды (амплитуда максимальна, если знаменатель выражения минимален). Продифференцировав подкоренное выражение в знаменателе и приравняв производную нулю, получим условие, определяющее значение резонансной частоты:

.

Корни этого уравнения ; из этих корней только положительный имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота равна . Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте называется резонансом. Для значения резонансной амплитуды имеем .