Физика (стр. 23 )

Рис. 1.5.6

В силу стационарности ламинарного течения скорости всех частиц жидкости в трубе постоянного сечения остаются неизменными, т. е. выделенный объем жидкости движется без ускорения. В соответствии со вторым законом Ньютона сумма всех внешних сил, приложенных к любому объему жидкости, равна нулю. На основания выделенного цилиндрического объема действуют силы давления, сумма которых равна . Эта сила действует в направлении движения жидкости. На боковую поверхность цилиндра действует сила трения . Здесь – значение градиента скорости на расстоянии от оси трубы.

Уравнение стационарности имеет вид:

. (**)

Скорость убывает от оси трубы, поэтому . Из равенства (**) имеем:

.

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

.

Интегрируем:

.

Постоянную интегрирования определим из условия при (на стенке трубы). Полагая , имеем: . Отсюда .

Следовательно, .

На оси трубы .

Значит, общая формула будет иметь вид: .

При ламинарном течении скорость изменяется с расстоянием от оси трубы по параболическому закону (рис. 1.5.7).

Рис. 1.5.7

Полагая течение ламинарным, вычислим поток жидкости , т. е. объем жидкости, протекающий через поперечное сечение трубы радиусом за единицу времени. Разобьем сечение на кольца ширины (рис. 1.5.8). Через кольцо радиусом за секунду пройдет объем жидкости, равный произведению площади кольца на скорость течения в точках, отстающих от оси трубы на расстоянии .

Рис. 1.5.8

Приняв во внимание общую формулу распределения скорости по радиусу трубы, получим: . Для получения полного потока это выражение нужно проинтегрировать по радиусу от 0 до :

.

где – площадь сечения трубы.

Отсюда следует, что при ламинарном течении среднее по сечению значение скорости равно половине максимального значения, которое достигается на оси трубы. Если заменить его выражением, то получим:

.

Это – формула Пуазейля. Поток жидкости (расход) пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален вязкости жидкости. Все это справедливо только для ламинарного течения. Формулу Пуазейля используют для определения вязкости жидкости. Пропуская жидкость через капилляр известного радиуса, измеряют перепад давления и расход ; по формуле Пуазейля вычисляют .

Пример 5. В боковую поверхность цилиндрического сосуда с радиусом вставлен горизонтальный капилляр с внутренним радиусом и длиной . В сосуд налито касторовое масло, динамическая вязкость которого равна . Найти зависимость скорости понижения уровня касторового масла в цилиндрическом сосуде от высоты этого уровня над капилляром. Найти численное значение этой скорости при .

Решение. Скорость понижения уровня касторового масла в сосуде зависит от скорости протекания масла через капилляр. Объем масла, протекающего через капилляр за время , определяется формулой Пуазейля: . В нашем случае разность давлений на концах капилляра обусловлена гидростатическим давлением слоя жидкости, т. е. . С другой стороны, , где – скорость протекания масла через капилляр. Отсюда имеем: . Но уравнение неразрывности дает: , где – скорость понижения уровня масла в сосуде и – площадь поперечного сечения сосуда. Тогда окончательно . При скорость понижения уровня масла в сосуде составит .

1.6. Основы механики упругих тел

В п. 1.3 указывалось, что соприкасающиеся тела действуют друг на друга с некоторой силой лишь в том случае, если они деформированы, например, сжаты. Деформация нас интересовала лишь постольку, поскольку с ней связано появление тех или иных сил. Нас не интересовали изменения объема и формы тел при деформациях. Однако при точных расчетах деформации необходимо принимать во внимание.

1.6.1. Упругие и пластические деформации

В природе абсолютно твердых тел не существует. Все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются. Однако слегка деформированная стальная пластинка после устранения сил восстановит свою форму, а свинцовая пластинка такого же размера – нет.

Деформации, которые полностью исчезают при устранении деформирующих сил, называются упругими. Деформации, которые не исчезают по снятию деформирующих сил, называются пластическими.

Строго говоря, не существует ни полностью упругих, ни полностью пластических деформаций. Упругая деформация у всех тел с увеличением времени действия сил переходит в пластическую. При коротком времени воздействия сил тела, подверженные пластической деформации, могут повести себя как упругие.

Переход упругой деформации в пластическую зависит и от величины самой деформации. Чем больше деформация, тем меньший промежуток времени требуется для ее перехода в пластическую.

Существует несколько видов деформации – растяжение, сжатие, изгиб, кручение, но, как доказывается в теории упругости, все они могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.

Примером одностороннего или продольного растяжения может служить проволока, на которой подвешен груз (рис. 1.6.1 а).

Рис. 1.6.1

При таком растяжении тела удлиняются и одновременно несколько уменьшаются в поперечных размерах. Примерами одностороннего или продольного сжатия являются колонны, поддерживающие часть здания (рис. 1.6.1 б). При одностороннем сжатии тело немного расширяется в поперечном направлении.