Физика (стр. 18 )

Рис. 1.4.1

Используя выражение для момента инерции маятника и основное уравнение динамики вращательного движения , можно записать: . Поделив это уравнение на , приведем его к виду . Если ограничиться рассмотрением малых колебаний, то можно . Введя обозначение , получим , т. е. малые колебания математического маятника есть гармонические колебания, совершающиеся по закону с периодом .

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим. При отклонении маятника от положения равновесия на угол (рис. 1.4.2) возникает вращающий момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен , где – масса маятника, – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой , можно записать: . В случае малых колебаний это выражение переходит в уже известное нам уравнение: . Здесь через обозначена величина . Отсюда следует, что малые колебания физического маятника являются гармоническими колебаниями, частота которых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния от оси вращения до центра масс маятника. Период колебаний физического маятника определяется выражением . Из сравнения этого выражения с периодом колебаний математического маятника легко заключить, что данный физический маятник колеблется с таким же периодом, как и математический маятник длиной . Эту длину называют приведенной длиной физического маятника.

Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (точка на рис. 1.4.2).

Рис. 1.4.2

Нетрудно показать, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и в начале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Пример 3. Определить натяжение нити в момент , если математический маятник массой , длиной совершает гармонические колебания по заданному закону .

Решение. Маятник движется по дуге окружности (рис. 1.4.3) радиуса , и сила натяжения нити в произвольный момент времени будет равна сумме составляющей силы тяжести по направлению нити и центростремительной силы, создающей нормальное ускорение: .

Рис. 1.4.3

Мгновенная скорость в этот момент времени равна . Следовательно, выражение для силы натяжения принимает вид:

.

Пример 4. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной . Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальна.

Решение. Период колебаний физического маятника равен . Частота обратна периоду: . Здесь – расстояние от точки подвеса до центра масс; – масса стержня; – момент инерции стержня относительно точки подвеса. По теореме Штейнера, . Здесь – момент инерции стержня относительно центра масс. Отсюда . Экстремальные значения частоты достигаются при таких значениях , при которых . Дифференцируем полученное выражение и приравниваем его нулю:

.

Из трех сомножителей равным нулю может быть только третий. Отсюда . При полученном значении будет достигаться максимум частоты, если вторая производная . В этом можно убедиться, выполнив дифференцирование и подставив числовые значения.

Пример 5. При подвешивании грузов массами и к свободным пружинам последние удлинились одинаково (). Пренебрегая массой пружин, определить: 1) периоды колебаний грузов; 2) какой из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энергией и во сколько раз?

Решение. Упругая сила пропорциональна удлинению пружин: , где – жесткость пружины. Знак минус означает, что сила и удлинение направлены противоположно. В нашем случае пружины растягиваются силами . Значит, для первой пружины , для второй – . Поскольку период колебаний пружинного маятника равен , то ясно, что периоды колебаний обоих маятников одинаковы:

.

Потенциальная энергия пружинного маятника пропорциональна жесткости пружины. Значит, более жесткая пружина имеет в раз большую потенциальную энергию.

1.4.2. Затухающие колебания

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если энергия не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. В простейшем и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае сила сопротивления пропорциональна величине скорости: , где – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления, следовательно, их проекции на ось имеют разные знаки.