Физика (стр. 16 )

Рис. 1.3.7

Последнее равенство называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела. Собственно это аналог второго закона Ньютона для вращательного движения: роль силы играет момент силы, роль массы – момент инерции; роль ускорения – угловое ускорение.

Пример 9. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Определить: 1) отношение скоростей цилиндра и шара на данном уровне; 2) их отношение в данный момент времени.

Решение. Кинетическая энергия тела, катящегося без скольжения, равна . Здесь – масса тела, – скорость центра масс, – момент инерции тела, – угловая скорость вращения.

Для цилиндра: .

Для шара: .

По условию цилиндр и шар переместились на одинаковые расстояния по высоте. Значит, их потенциальные энергии изменились на одинаковую величину: , где – расстояние по вертикали, на которое спустились цилиндр и шар. В силу закона сохранения механической энергии .

Для цилиндра: .

Для шара: .

Отсюда имеем: .

Во втором случае цилиндр и шар перемещались за одинаковый промежуток времени. Движение обоих тел равноускоренное. Путь, пройденный ими, равен: . Расстояние по вертикали, на которое опустились тела, равно , где – угол наклона плоскости. Значит, потенциальная энергия изменилась на величину . Изменение потенциальной энергии равно изменению кинетической энергии.

Для цилиндра имеем: .

Для шара: .

Отсюда .

1.3.5. Закон сохранения момента импульса

Продолжая аналогию, можно сказать, что аналогом импульса тела при вращательном движении является момент импульса относительно оси вращения. Пусть точка А имеет импульс (рис. 1.3.8). Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки называется физическая величина, определяемая векторным произведением . Здесь – радиус-вектор точки , – импульс точки . Направление вектора определяется правилом правого винта. Модуль момента импульса .

Рис. 1.3.8

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности радиуса с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны радиусу-вектору , т. е. радиус является плечом вектора . Значит . В этом случае момент импульса всего тела . Так как , получаем

.

Момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Дифференцируем последнее равенство по времени:

.

Это еще одна форма основного уравнения динамики вращательного движения.

Момент силы и момент импульса направлены одинаково, поэтому можно записать

.

В замкнутой системе момент внешних сил равен нулю . Отсюда

.

Это и есть закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Если в этих условиях () изменяется момент инерции тела, то в силу неизменности произведения изменяется угловая скорость. Этим обстоятельством широко пользуются спортсмены: акробаты, прыгуны в воду и т. д.

Пример 10. Маховое колесо, имеющее момент инерции , вращается, делая . Через , после того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти: 1) момент сил трения; 2) число оборотов, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил.

Решение. После прекращения действия вращающего момента на вращение колеса влияет только сила трения. Она постоянна, поэтому вращение равнозамедленное. Угловое ускорение будет равно . Конечное значение угловой скорости , так как колесо остановилось. Поскольку , то и . Используя основной закон вращательного движения, получаем: . Для нахождения числа оборотов учтем, что полный угол поворота колеса при равнозамедленном вращении равен

.

Отсюда число оборотов до полной остановки составит .

Пример 11. Две гири разного веса соединены нитью и перекинуты через блок, момент инерции которого и радиус . Блок вращается с трением, и момент сил трения равен . Найти разность натяжений нитей по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с постоянным угловым ускорением .

Решение. Момент сил трения и вращающий момент противодействуют друг другу, поэтому результирующий момент равен их разности: . Отсюда, по основному уравнению динамики вращательного движения, имеем:

.