Физика (стр. 43 )

Представим себе мысленно коаксиальную с заряженной поверхностью замкнутую цилиндрическую поверхность радиусом и высотой (рис. 3.1.7). Для оснований этого цилиндра , для боковой поверхности (заряд будем считать положительным). Поток вектора напряженности сквозь выделенную замкнутую поверхность будет равен . Если , внутрь поверхности попадает заряд , где – линейная плотность заряда . По теореме Гаусса, . Отсюда для . Если , замкнутая поверхность не содержит внутри себя зарядов, вследствие чего . Таким образом, внутри заряженной цилиндрической поверхности бесконечной длины поле отсутствует.

Рис. 3.1.7

Так как (это заряд на единицу длины), напряженность в непосредственной близости от поверхности равна .

Поле заряженной сферической поверхности. Поле, создаваемое сферической поверхностью радиусом , заряженной с постоянной поверхностной плотностью , характеризуется центральной симметрией. Это значит, что направление вектора напряженности в любой точке проходит через центр сферы, а модуль напряженности является функцией расстояния от центра сферы. Для всех сферических поверхностей радиусом имеем: и, следовательно, , т. к. внутрь поверхности попадает весь заряд , создающий поле. Отсюда . Если , то внутри замкнутой поверхности не будет зарядов, вследствие чего . Значит, внутри сферической поверхности, заряженной с постоянной поверхностной плотностью, поле отсутствует. Вне этой поверхности поле имеет такой же вид, как поле точечного заряда той же величины, помещенного в центр сферы.

При , учитывая, что , имеем для напряженности поля вблизи заряженной сферической поверхности: .

Поле объемно заряженной сферы. Если сфера заряжена объемно с постоянной объемной плотностью , то электрическое поле такой сферы также обладает центральной симметрией. Вне сферы поле описывается так же, как и в случае поверхностно заряженной сферы. Однако для точек внутри сферы поле будет иным. Сферическая поверхность радиусом будет содержать внутри себя заряд . По теореме Гаусса, . Учитывая, что , получаем: . Внутри сферы напряженность поля растет линейно с расстоянием от центра сферы, вне сферы напряженность поля убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда.

Пример 5. Два бесконечно длинных параллельных провода, расположенных в вакууме, заряжены равномерно с линейной плотностью заряда . Расстояние меду проводами . Определить силу, действующую на единицу длины провода.

Решение. Определим напряженность электрического поля, создаваемого одним из проводов в том месте, где находится второй провод. Для этого построим цилиндрическую поверхность, ось которой совпадает с проводом, радиус основания которого и высота . Из соображений симметрии следует, что вектор напряженности в каждой точке перпендикулярен этой поверхности. Поток вектора напряженности через эту поверхность будет равен: .

С другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса, этот поток равен заряду, заключенному внутри этой поверхности, деленному на : . Отсюда .

Сила, действующая на длину второго проводника, равна . Сила, действующая на единицу длины проводника, . Подставляя данные задачи, получаем: .

3.1.8. Работа сил электрического поля

Как мы уже убедились, напряженность – это силовая характеристика электрического поля. Вычислим работу, которая совершается силами поля неподвижного точечного заряда над перемещающимся в этом поле точечным зарядом . Работа на элементарном пути равна (рис. 3.1.8):

Рис. 3.1.8

.

Полная работа на пути 1–2 равна:

.

Из последнего выражения видно, что работа сил поля не зависит от пути, по которому перемещался в этом поле заряд , а определяется лишь начальным и конечным положением этого заряда. Следовательно, силы, действующие на заряд в поле, создаваемом неподвижными зарядами, являются потенциальными. Работа потенциальных сил на замкнутом пути, как известно из механики, равна нулю. Выражение для работы по перемещению заряда на участке 1–2 можно записать следующим образом:

,

где – проекция вектора напряженности на направление элементарного перемещения . (Здесь учтено, что угол между векторами и равен нулю). Поскольку , то на замкнутом пути .

Интеграл по замкнутому контуру вида называется циркуляцией вектора по данному контуру. Таким образом, циркуляция вектора напряженности по любому замкнутому контуру равна нулю.