Физика (стр. 39 )

Рис. 2.4.2

Объем этого цилиндра – . Умножив этот объем на концентрацию n, получим среднее число столкновений за одну секунду: . В действительности все молекулы движутся, и число соударений определяется средней скоростью молекул по отношению друг к другу, а не по отношению к стенкам сосуда. Относительная скорость двух молекул равна: . Возведем выражение в квадрат: . Здесь учтено, что . Среднее значение суммы равно сумме средних значений складываемых величин:

.

Значения скоростей первой и второй молекул и принимаются независимо друг от друга. Поэтому . Для газа, находящегося в равновесии, . Значит, , так как среднее значение квадрата скорости всех молекул одинаково.

Полученный результат означает, что относительное значение среднеквадратичной скорости молекул равно среднеквадратичному значению, умноженному на корень квадратный из двойки: . Средние квадратичные скорости пропорциональны средним арифметическим. Следовательно, . Заменив в выражении числа соударений среднее значение скорости на среднее относительное, т. е. , получаем для среднего числа столкновений за секунду выражение: и, подставив это значение в выражение для длины свободного пробега , будем иметь:

.

Заменив через , получим: . Поскольку ~ , то ~ (длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению).

Эффективный диаметр молекулы уменьшается с повышением температуры. Значит, при повышении температуры длина свободного пробега увеличивается.

Оценим величину и среднее число столкновений в секунду. Примем эффективный диаметр молекулы равным (два ангстрема). При нормальных условиях моль газа занимает объем . Отсюда .

Число столкновений в секунду можно получить, разделив среднюю скорость молекул на . Скорость молекул равна ~. Отсюда .

При нормальных условиях число столкновений молекул составляет несколько миллиардов в секунду. С уменьшением давления число столкновений уменьшается.

Пример 1. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при температуре и давлении .

Решение. Длина свободного пробега молекул газа равна . Здесь – эффективный диметр молекул, – концентрация. По уравнению Клапейрона – Менделеева, . Диаметр молекул азота (приложение). Подставив данные задачи в выражение для длины свободного пробега, получим:

Пример 2. Во сколько раз уменьшится число столкновений в молекул двухатомного газа, если объем газа адиабатически увеличить в 2 раза?

Решение. Число столкновений молекул равно . Здесь – эффективный диметр молекул, – концентрация, – среднеарифметическая скорость молекул, – молярная масса. Отсюда . Значит, . При адиабатическом процессе . Для двухатомного газа . По уравнению Клапейрона–Менделеева, , поскольку концентрация при двукратном увеличении объема уменьшается в два раза. Следовательно, .

Пример 3. Чему равны при нормальных условиях коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, если эффективный диаметр молекулы азота ?

Решение. . Средняя арифметическая скорость молекул . Средняя длина свободного пробега молекул . Плотность . Коэффициент внутреннего трения . Коэффициент диффузии .

Пример 4. Какой толщины следовало бы сделать деревянную стену здания, чтобы она давала такую же потерю тепла, как кирпичная стена толщиной при одинаковой температуре внутри и снаружи здания. Коэффициенты теплопроводности кирпича и дерева равны соответственно: .

Решение. Запишем уравнение теплового потока через стену для обоих материалов: . Отсюда толщина деревянной стены составит .

Пример 5. При определении вязкости жидкостей по методу Стокса расчеты ведут в предположении, что скорость падения шарика в жидкости . В какой степени верно это предположение? Через какой промежуток времени скорость шарика станет равной , если плотность материала шарика , его диаметр , динамическая вязкость жидкости . В начальный момент времени скорость шарика .