Физика (стр. 25 )

Пример 1. Вычислить абсолютное и относительное изменения объема стального стержня, имеющего длину и поперечное сечение , если к нему приложено растягивающее усилие . Коэффициент Пуассона .

Решение. Длина образца после деформации равна . Площадь после деформации равна , где и – относительные деформации растяжения и сжатия соответственно. Объем после деформации: , где – первоначальный объем. Так как до предела пропорциональности есть малая величина, то ее квадратом можно пренебречь. Тогда

; ; ;

; .

1.6.3. Диаграмма деформирования

Деформация подчиняется закону Гука до известного предела. Связь между деформацией и напряжением обычно представляют в виде диаграммы напряжений. Примерное поведение зависимости напряжения от деформации видно из рис. 1.6.6.

Рис. 1.6.6

Видно, что линейная зависимость, установленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так называемого предела пропорциональности (). При дальнейшем увеличении напряжения деформация еще упругая (хотя зависимость уже не линейна), и до предела упругости () остаточные деформации не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации, и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой , а параллельной ей – . Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (), называется пределом текучести () – точка на кривой. В области деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести (или областью пластических деформаций). Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, материалы, для которых же она, практически, отсутствует – хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку ) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется пределом прочности ().

Диаграмма напряжений для реальных твердых тел зависит от различных факторов. Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил проявлять себя как хрупкое, а при длительных, но слабых силах является текучим.

1.6.4. Потенциальная энергия деформации

Вычислим потенциальную энергию упругорастянутого (сжатого) стержня, которая равна работе, совершаемой внешними силами при деформации:

,

где – абсолютное удлинение стержня, изменяющееся в процессе деформации от до . Согласно закону Гука . Поэтому

,

т. е. потенциальная энергия упругорастянутого стержня пропорциональна квадрату деформации .

Пример 2. К проволоке, закрепленной верхним концом, подвешивается груз массой , под действием которого проволока удлиняется на величину . Показать, что изменение потенциальной энергии в два раза меньше изменения потенциальной энергии груза. Как это согласуется с законом сохранения энергии?

Решение. Уменьшение потенциальной энергии груза . Увеличение потенциальной энергии проволоки . Но . Отсюда .

1.6.5. Деформация сдвига

В заключение рассмотрим кратко деформацию сдвига. Возьмем однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням силы и (), направленные параллельно этим граням (рис. 1.6.7).

Рис. 1.6.7

Если действие сил будет равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани, то в любом сечении, параллельном этим граням, возникнет тангенциальное напряжение ( – площадь грани). Под действием напряжений тело деформируется так, что одна грань сместится относительно другой на некоторое расстояние . Если тело мысленно разбить на элементарные параллельные рассматриваемым граням слои, то каждый слой окажется сдвинутым относительно соседних с ним слоев.

При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная слоям, повернется на некоторый угол . В качестве характеристики деформации сдвига берется величина , называемая относительным сдвигом (смысл величин и ясен из рис. 1.6.7). При упругих деформациях угол бывает очень мал. Поэтому можно . Следовательно, относительный сдвиг оказывается равным углу сдвига .

Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:

.

Это выражение носит название закона Гука при сдвиге. Коэффициент зависит только от свойств материала и называется модулем сдвига. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равным (), если бы при столь больших деформациях не был превзойден предел упругости. Измеряется , как и модуль Юнга , в паскалях.

Пример 3. Определить толщину нити, на которой подвешена рамка зеркального гальванометра, если под действием вращающего момента она поворачивается на угол . Длина нити . Модуль сдвига материала нити .