Физика (стр. 17 )

1.4. Колебательное движение

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Примерами колебаний могут служить колебания маятника часов, колебания струны и т. д. Рассмотрим самые распространенные в природе колебания – механические.

Колебания называются свободными или собственными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Примером свободных колебаний могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того чтобы вызвать колебания, можно либо толкнуть шарик, либо, отведя его в сторону, отпустить.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером могут служить колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу.

1.4.1. Гармонические колебания

Простейшими колебаниями являются гармонические колебания, т. е. колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: а) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; б) различные периодические процессы с иной зависимостью от времени могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси около положения равновесия, принятого за начало координат. Зависимость координаты от времени опишется выражением , где – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебаний; – круговая (циклическая) частота; – начальная фаза колебаний (фаза в момент времени ); – фаза колебаний в момент времени .

Поскольку косинус – периодическая функция с периодом , то колеблющаяся величина будет принимать одинаковые значения через такой промежуток времени , за который фаза колебаний получает приращение . Этот промежуток времени называется периодом. По определению , значит, .

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебания . Очевидно, что частота обратна периоду . За единицу частоты принимается герц – частота такого колебания, период которого равен 1с.

Из выражения для периода следует , т. е. дает число колебаний за секунд. Поэтому эта величина называется круговой или циклической частотой; с обычной частотой она связана соотношением .

Дифференцирование величины по времени один и два раза дает выражения для ее скорости и ускорения:

,

.

Из выражения для ускорения следует, что сила, действующая на колеблющуюся точку массой , равна , т. е. сила пропорциональна смещению и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия). Из того же выражения следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний:, решением которого является выражение .

Выражения для кинетической и потенциальной энергии принимают вид:

,

.

Отсюда полная механическая энергия получается равной .

Пример 1. Точка колеблется гармонически по закону . Найти максимальные значения скорости и ускорения.

Решение. Выражения для скорости и ускорения находятся дифференцированием закона колебаний по времени, соответственно, один и два раза:

; .

Скорость примет максимальное значение , когда . Ускорение примет максимальное значение , когда .

Пример 2. Определить отношение потенциальной энергии гармонически колеблющейся точки к ее кинетической энергии, если известна фаза колебаний.

Решение. Выражения для кинетической и потенциальной энергий гармонически колеблющейся точки имеют вид:

,

.

Отсюда для отношения энергий получаем: .

Примеры гармонических колебаний

Система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида , называется гармоническим осциллятором. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники.

Пружинный маятник – это груз, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы , где – жесткость пружины. По второму закону Ньютона или . Обозначив , можем записать: , т. е. пружинный маятник действительно совершает гармонические колебания по закону: с циклической частотой и периодом .

Потенциальная энергия пружинного маятника равна работе упругой силы, взятой со знаком минус: .

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом , образованным нитью с вертикалью (рис. 1.4.1). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращающий момент , равный по величине . Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия, т. е. действует аналогично упругой силе. Поэтому углу отклонения и моменту следует приписывать противоположные знаки. (Это можно обосновать, и используя правило правого винта.) Таким образом, выражение для вращательного момента имеет вид .