Физика (стр. 22 )

Если измерить скорость жидкости в разных слоях, то обнаружится, что она изменяется в направлении, перпендикулярном нижней пластине по линейному закону: . Вследствие вязкости частицы жидкости, соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют ту же скорость, что и пластины. Дифференцируя выражение для скорости, имеем: . Поскольку правая часть всегда положительна, то и производная должна быть положительна. Но ее знак зависит от направления оси . Поэтому для того, чтобы формула была справедливой, при дифференцировании взят модуль производной. Подставив это равенство в закон Ньютона (*), получим:

.

Эта зависимость определяет модуль силы трения. Градиент показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси .

Тела шарообразной формы при движении в вязкой жидкости испытывают сопротивление трения, определяемое эмпирическим законом, установленным Стоксом:

.

Здесь – радиус шара. Закон справедлив при малых значениях скорости .

Вязкость жидкости характеризуется коэффициентом вязкости. Единицей вязкости в СИ служит такая вязкость, при которой градиент скорости с модулем приводит к возникновению силы трения в 1Н на поверхности в . Эта единица называется паскаль-секунда – . Коэффициент вязкости зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен. Для жидкостей коэффициент вязкости с ростом температуры уменьшается, для газов – наоборот. Это объясняется различием механизмов внутреннего трения у жидкостей и газов.

Пример 3. Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости, плотность которой в 4 раза больше плотности материала шарика. Во сколько раз сила трения, действующая на всплывающий шарик, больше веса этого шарика?

Решение. На всплывающий шарик действуют: сила Архимеда ( – радиус шарика), сила веса и сила сопротивления Стокса . Поскольку шарик поднимается с постоянной скоростью, то равнодействующая всех сил равна нулю: . Все силы направлены по вертикали: – вверх, и – вниз. Проектируя векторное уравнение на вертикальное направление, получаем: или . Учитывая, что , имеем: . Отсюда .

1.5.4. Ламинарное и турбулентное течения

При наблюдении издалека дыма, выходящего из трубы, мы видим сплошную струю, равномерно вытекающую из отверстия трубы. При приближении к трубе мы увидим беспорядочные клубы дыма, перемешивающиеся между собой. Значит, кроме общего движения по ветру клубы дыма совершают различные движения то в одну, то в другую сторону. Это явление – наличие в потоке беспорядочных движений частиц среды – называется турбулентностью. Благодаря турбулентности происходит перемешивание потока. В дымовой струе беспорядочные движения воздуха переносят частицы дыма во все стороны: струя расширяется и на большом расстоянии от трубы оказывается размытой во все стороны. Этот результат турбулентности виден и на большом расстоянии.

Турбулентность – очень распространенное явление. Турбулентны течение воды в реке и движение воды в водопроводных трубах. При движении тела в воздухе за ним всегда образуется турбулентный след и т. д. (Турбулентность в потоках жидкости или газа отсутствует только при определенных условиях.) Наблюдать турбулентное движение легко, если ввести в поток жидкости подкрашенную струйку – она уже на небольшом расстоянии от места введения равномерно распределяется по всему сечению потока. Турбулентное течение нестационарно.

Если уменьшать скорость потока жидкости или газа, то можно заметить, что, начиная с некоторой скорости потока, окрашенная струйка, введенная в поток, перестанет расплываться и вытянется вдоль потока. При малой скорости потока турбулентность исчезает, и течение становится струйным. Такое движение жидкости или газа называется ламинарным. Оно стационарно.

Если опять увеличить скорость потока, течение снова станет турбулентным. Опыт показывает, что в узких трубах турбулентность прекращается и появляется при больших скоростях раньше, чем в широких трубах. В капиллярах движение жидкости всегда ламинарно. Течение вязких жидкостей (глицерин, масло) может оставаться ламинарным при значительно больших скоростях, чем течение текучих жидкостей (вода, спирт). При нормальном кровообращении кровь протекает в артериях без турбулентности. Значит, течение крови по кровеносным сосудам описывается законами ламинарного течения.

Английский ученый Осборн Рейнольдс установил, что характер течения жидкости или газа зависит от значения безразмерной величины , впоследствии названной числом Рейнольдса. Здесь – плотность среды, – средняя по сечению скорость, – вязкость, – характерный размер поперечного сечения потока.

При малых числах Рейнольдса наблюдается ламинарное течение. Начиная с некоторого значения , называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Для течения в круглой трубе , если за характерный размер принят диаметр трубы.

В число Рейнольдса входят две величины, зависящие от свойств жидкости: плотность и вязкость . Их отношение называется кинематической вязкостью, величина называется динамической вязкостью. Используя выражение для , число Рейнольдса можно записать следующим образом: .

Пример 4. Считая, что ламинарность движения жидкости (или газа) в цилиндрической трубе сохраняется при (если при вычислении в качестве характерного размера взять диаметр трубы), показать, что условия примера соответствуют ламинарному движению. Кинематическую вязкость принять равной .

Решение. При скорости течения газа в трубе диаметром число Рейнольдса будет равно . Значит, течение ламинарно.

1.5.5. Течение Пуазейля

Как уже сказано, течение в трубах малого диаметра (например, движение крови по кровеносным сосудам) или течение с малыми скоростями будет ламинарным. Найдем закон изменения скорости с расстоянием от оси трубы.

При движении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенок трубы и максимальна на оси трубы. Выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиусом и длиной (рис. 1.5.6).