Физика (стр. 20 )

Пример 7. На тело действует сила, изменяющаяся по закону ( и – постоянные числа). Найти закон движения тела при условии, что при , и . Установить, что такое движение является колебательным. Определить период колебания, наибольшее значение смещения и наибольшее значение скорости.

Решение. По второму закону Ньютона . Так как , то . Интегрируя последнее уравнение, получаем: . Постоянная интегрирования равна нулю. Поскольку , то . Из последнего уравнения видно, что движение колебательное; косинус – функция периодическая с периодом ; период колебания составит . Наибольшее смещение достигается, когда , т. е. . В этот момент времени . Скорость достигает максимального значения, когда , т. е. . Значит, в момент времени скорость достигает значения .

1.5. Движение жидкостей и газов

1.5.1. Линии и трубки тока. Уравнение неразрывности

несжимаемой струи

Один из разделов механики называется механикой сплошной среды. Он включает в себя гидродинамику, газовую динамику, теорию упругости. В этих дисциплинах вещество рассматривается как непрерывная среда. Познакомимся с основами гидродинамики. Гидрадинамика изучает движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие таких жидкостей с твердыми телами.

Состояние движения жидкости можно определить, задав в каждой точке пространства вектор скорости как функцию времени. Такая совокупность векторов образует поле вектора скорости. Его можно изобразить следующим образом. В движущейся жидкости проведем линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала по направлению с вектором скорости (рис. 1.5.1). Эти линии называются линиями тока.

Рис. 1.5.1

Линии тока проводят так, чтобы их густота (отношение числа линий, пронизывающих перпендикулярную к ним площадку, к величине этой площадки ) была пропорциональна величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно судить о величине скорости в разных точках пространства: где линии гуще, там скорость выше.

Поскольку вектор скорости в каждой точке пространства может меняться со временем, то и линии тока могут меняться. Если в каждой точке пространства постоянен во времени, то течение называется стационарным. При этом картина линий тока неизменна.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Поскольку вектор касается линии тока, то он касается и поверхности трубки тока, а значит, частицы при своем движении не пересекают стенок трубки тока.

Рассмотрим трубку тока настолько тонкую, что можно считать в каждом сечении скорость постоянной величиной по всему сечению (рис. 1.5.2). Если жидкость несжимаема (), то количество жидкости между сечениями и должно быть постоянно, то есть сколько жидкости войдет через сечение , столько же должно выйти через сечение . Трубка тока узкая, и мало. За это время через сечение войдет объем жидкости, равный , так как через пройдут частицы жидкости, которые находились от него на расстоянии, не большем . За единицу времени объем вошедшей жидкости будет равен . Такой же объем жидкости должен выйти через сечение . Но через сечение пройдет в единицу времени объем жидкости, равный . Значит, . Сечения и выбраны произвольно, значит, полученное равенство справедливо для любой пары сечений.

Рис. 1.5.2

Для несжимаемой жидкости произведение в любом сечении одной и той же трубки тока должно быть одинаковым: . Это равенство называется уравнением неразрывности струи несжимаемой жидкости.

Из уравнения видно, что в трубке уменьшающегося сечения жидкость будет двигаться с ускорением.

Еще раз подчеркнем, что уравнение неразрывности справедливо только для несжимаемой жидкости. Несжимаемыми можно считать капельные жидкости и газы при их движении со скоростями до ~.

Пример 1. Найти скорость течения по трубе углекислого газа, если известно, что за через поперечное сечение трубы протекает газа. Плотность газа принять равной . Диаметр трубы равен . Жидкость идеальная.

Решение. Объем газа, протекающего через поперечное сечение трубы за равен . С другой стороны, этот объем равен произведению скорости жидкости и площади поперечного сечения: . Приравнивая два выражения для объема, получим: .

1.5.2. Уравнение Бернулли

Жидкость (или газ), вязкостью которой можно пренебречь, называется идеальной.

Выделим в идеальной стационарно текущей жидкости трубку тока очень малого сечения (рис. 1.5.3). За время объем жидкости между сечениями и переместится вдоль трубки тока: сечение перейдет в сечение ; сечение перейдет в сечение . Первое сечение пройдет путь , второе – .