Дискретно-непрерывная математика (стр. 10 )

рассматриваемых сечений. Если эти направления одинаковы, т. е. одновременно совпадают или противоположны, то уij вписывается в соответствующую клетку матрицы Y со знаком плюс. Если же эти направления различные, т. е. направление одной дуги совпадает с направлением рассматриваемого инцидентного ей сечения, а на­правление другой противоположно с рассматриваемым инцидентным ей сечением, то уij вписывается со знаком минус. Приведенное пра­вило иллюстрируется на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Правило записи собственных и взаимных параметров дуг в матрицу Y.

3.4. Уравнения контуров

Если все дуги полюсных графов компо­нентов можно представить как z-дути, продольные переменные которых выражаются через поперечные переменные, то компонент­ные уравнения упрощаются к виду:

ξZ= Z дηZ

Представим матрицу контуров как Р = [РZ, РE], где суб­матрицы PZ и PE содержат соответственно столбцы z-дуг и задаю­щих источников продольных величин, т. е. е-дуг (предполагается, что задающие источники поперечных величин отсутствуют). Тополо­гическое уравнение запишется следующим образом:

откуда получаем

Подставив

приходим к уравнениям контуров в матричной форме

или

Здесьматрично-векторные параметры математической модели в однородной системе координат (контуров). Определив из этого уравнения вектор поперечных пе­ременных дополнения ηN, остальные переменные можно найти по формулам

ηT =ρtηN и ξZ= Z дηZ . Так как число независимых кон­туров графа равно σ= q — р + k, то матричное уравнение контуров соответствует о скалярным уравнениям.

Легко заметить дуальность математических моделей в однород­ных системах координат (сечений или контуров). Все соотношения для одной из них можно получить из другой простой заменой дуаль­ных терминов и величин:

Сечение ↔ контур

у-дуга ↔ z-дуга

j-дуга ↔ е-дуга

Поперечная переменная ↔ продольная переменная

Матрица сечений ↔ матрица контуров

Матрица Yд ↔ матрица Zд

Матрица Y ↔ матрица Z

Вектор J ↔ вектор Е

В частности, используя дуальность терминов и величин, можно сформулировать правила записи матрицы Z и вектора Е непосредственно из рассмотрения графа системы и полюсных уравнений компонентов. Так, k-я компо­нента еk вектора Е равна ал­гебраической сумме задаю­щих продольных величин тех источников, дуги которых инцидентны k-му контуру, причем каждая такая величина берется со знаком плюс, если направления дуги и контура совпадают, и со знаком минус, если их направления противоположны. Правило записи матрицы Z иллюстри­руется на рис. 3.4.

Рис.3.4. Правило записи собственных и взаимных параметров дуг в матрицу Z.

3.5. Преобразование источ­ников

До сих пор предпола­галось, что в системе действу­ют источники только одного типа. Однако нетрудно обобщить математические модели в однородных системах координат на случаи, когда име­ются задающие источники как продольных, так и поперечных величин, описываемые соответственно уравнениями ξЕ = e(t) и ηJ = j(t).

Рассмотрим сначала уравнения сечений. Выберем фундамен­тальное дерево так, чтобы все дуги независимых источников про­дольных величин (е-дуги) вошли в это дерево, а все дуги независи­мых источников поперечных величин (j-дуги)— в дополнение. Это всегда возможно, так как источники продольных величин не могут образовать контуров, а источники поперечных величин — сечений. Если бы это условие было нарушено, то некоторые из источников в силу топологических уравнений для таких сечений и контуров уже не являлись бы независимыми, что свидетельствовало бы о некорректной постановке задачи.

Расположив дуги графа так, что за е-дугами следуют у-дуги, а затем

j-дуги, запишем топологические уравнения для сечений в матричной форме:

Здесь матрица сечений представлена через субматрицы, полу­ченные разбиением ее строк на два подмножества (е, уT) и столбцов на три подмножества (е, у, j). Единичная субматрица отражает тот факт, что

e-дуги инцидентны только своим сечениям, так как все они включены в фундаментальное дерево. Из топологического уравнения имеем два матричных соотношения:

Подставив сюда

а также выразив ξY через продольные величины дерева ξТ, т. е.

получим

Первое выражение может быть использовано для определения поперечных величин е-дуг (если это требуется). Второе соотношение представляет собой уравнение сечений, которое в краткой записи выражается следующим образом:

YξYТ=J

Матрицу

можно записать по правилу, приведенному в (3.4) с тем различием, что учитывается инцидентность y-дуг только сечениям, определяемым у –ветвями дерева (у- сечениям).

Вектор

учитывает источники обоих типов, представленные величинами υ и ε. Первое слагаемое —ПYJυ представляет собой вектор, компонентами которого служат алгебраи­ческие суммы задающих поперечных величин дуг источников, инци­дентных соответствующим у-сечениям. Второе слагаемое — Y'ε учитывает воздействие источников продольных величин, для записи матрицы Y'= ПYYYДПtEY также можно воспользоваться правилом, аналогичным приведенному в (3.4) с тем различием, что при вписыва­нии параметра yij рассматривается инцидентность i-й дуги у-сечениям и инцидентность j-й дуги

е-сечениям.

Для получения уравнений контуров при наличии источников обоих типов необходимо, как и ранее, выбрать фундаментальное дерево так, чтобы в него вошли все е-дуги, а все j-дуги оказались в дополнении. Топологическое уравнение записывается в виде:

С учетом соотношений

получаем:

Первое из них представляет собой уравнение контуров, которое в краткой записи выражается следующим образом

где

Для записи матрично-векторных параметров Z и Е можно воспользоваться прави­лами, дуальными приведенным выше правилам записи матрицы У и вектора J.

Матрицу

размера qY×qE можно рассматривать как оператор, преобразующий источники продольных величин в задающие поперечные переменные. Аналогично матрицу

размера qz × qJ можно рассматривать как оператор, преобразующий источники поперечных величин в задающие про­дольные величины.

Так как переменными уравнений в однородных системах коорди­нат служат векторы ξYT и ηZN, то при наличии qE источников про­дольных величин и qJ источников поперечных величии число ска­лярных уравнений сечений равно υ — qE = р — k — qE, и число скалярных уравнений контуров равно σ — qJ = q — р+ k — qJ.

При формировании уравнений сечений короткозамкнутые дуги

целесообразно представить как е-дуги, а разомкнутые — как у-дуги. Все эти дуги вводятся в дерево. Тогда искомые поперечные переменные определятся из уравнения для ηE, а искомые продоль­ные переменные — из уравнений сечений как компоненты вектора ξYT

При формировании уравнений контуров короткозамкнутые дуги целесообразно представить как z-дуги, а разомкнутые - кaк j-дуги. Все эти дуги вводятся в дополнение. Тогда искомые поперечные переменные определятся из уравнений контуров как компоненты вектора ηN, а искомые продольные переменные – из уравнения для ξJ.

3.6. Транзисторная схема

Проиллюстрируем методы формиро­вания уравнений в однородных системах координат на примере транзисторной схемы (см. рис. 2.5, а), используя ее граф (см. рис. 3.2).