Дискретно-непрерывная математика (стр. 14 )

Рис. 4.1. Процедура формирования матри­цы W.

Подобным способом можно сформировать и матрицу Q, при этом операторами преоб­разования матрицы V служат матрицы πЕX и πxj. При ма­шинной реализации изложен­ного алгоритма для экономии оперативной памяти может оказаться целесообразным осуществлять преобразование матрицы V построчно, выпол­няя суммирование ее элемен­тов последовательно в каждой строке и формируя одновре­менно соответствующие стро­ки матриц W и Q.

4.3. Гидромеханическая система

Сформируем уравнения для гидромеханической системы (рис.4.2, а), которая состоит из поршня, рычага и механических двухпо­люсников. Задающими перемен­ными принимаются давление на входе поршня p1(t) и перемеще­ния в точках е и f (начало отсче­та давления связывается с точ­кой а, перемещений — с точкой g). Так как полюсный граф рычага содержит дуги различных типов (у и z), то необходимо прибегнуть к неоднородному координатному базису.

Рис. 4.2. Гидре механическая система (а) и ее граф ( б).

Граф системы изобра­жен на рис. 4.2, б, где 1 — дуга источника давления на входе поршня; 2 и 3—дуги источни­ков перемещения (все они явля­ются e-дугами, так как давление и перемещение — продольные переменные); 4 и 5 — дуги пружин с параметрами K4 и K8, 5 и 6 — дуги механического рычага; 7 — дуга демпфера с параметром В7; 9 и 10 — дуги гидравлического поршня. Выбрав фундаментальный лес (граф несвязный) так, чтобы в него вошли все е-дуги 1, 2, 3, запишем матрицу сечений:

Так как в системе нет источников поперечных величин, матрицы πЕ j и πxj отсутствуют. Полюсные уравнения идеального рычага и гидравлического поршня имеют вид:

где п — отношение плеч рычага; S — площадь поперечного сече­ния поршня.

Используя эти соотношения совместно с уравнениями двухпо­люсников, записываем компонентную матрицу (не смешивать опе­ратор дифференцирования р в матрице с обозначением давления):

Сформировав матрицы W и Q путем преобразования матрицы V в соответствии с матрицами πхх, πЕ j и πxj, приходим к уравнению:

Решив это уравнение (например, с помощью алгоритма Гаусса или LU разложения), получим выражения для переменных через задающие вершины р1, х2, х3.

4.4. Иерархия дуг

При формировании математической модели по изложенному алгоритму накладывается обязательное условие: все дуги независимых источников продольных величин (е-дуги) должны быть включены в дерево, а дуги независимых источников поперечных величин (j-дуги) — в дополнение. Как уже отмечалось в (3.6), для корректно поставленной задачи это условие всегда вы­полнимо, так как е-дуги не могут образовать контуров, а j-дуги — сечений (в противном случае некоторые из них были бы зависимыми от других в соответствии с уравнениями связей).

Дуги полюсных графов (у-дуги и z-дуги), вообще говоря, могут быть распределены между деревом и дополнением произвольно. Однако в зависимости от того, как решается этот вопрос, матрица W может иметь более или менее удобную для дальнейшего анализа форму. Поскольку решение или преобразование уравнений осу­ществляется чаще всего методами исключения, то наиболее жела­тельной является такая форма матрицы W, когда элементы ее главной диагонали не равны нулю, а еще лучше равны единице (регулярная форма).

Для достижения этой цели необходимо, прежде всего, записы­вать строки компонентной матрицы V в таком же порядке, в каком расположены столбцы в ее субматрицах Vξ и Vη. Очевидно, еди­ничные элементы компонентных уравнений (в неявной форме) должны попасть в VξТ и VηN — субматрицы, которые при преоб­разовании матрицы V не претерпевают изменений. А это значит, что z-дуги целесообразно включить в дерево, а у-дуги — в дополнение.

Взаимоопределенные ветви дерева целесообразно представить как

z-дуги а взаимоопределенные хорды — как у-дуги.

Приведенное правило не всегда может быть выполнено полностью, однако его соблюдение всегда приводит к матрице W в наиболее удобной удобной форме. Например, дугу 4 графа гидромеханическом системы (рис. 4.2, б) следовало бы включить в дополнение, так как она представлена как у-дуга компонентным уравнением f4 = К4х4. По тогда вместо нее пришлось бы ввести в дерево одну из дуг 6, 8 или 10. Дуги 6 и 10 являются существенно у-дугами, а дуга 8 относится к тому же типу, что и дуга 4. Если быть до конца после­довательным, то следовало бы воспользоваться тем обстоятельством, что дуга 4 взаимоопределенная и представить ее как z-дугу урав­нением

х4 =(1/К)f4.

Для получения математической модели системы в дифферен­циальной форме необходимо использовать только те полюсные уравнения, которые выражают поперечные или продольные перемен­ные через производные. Соответствующие компоненты в первом случае представляются у-дугами (емкости, массы), а во втором z-дугами (индуктивности, пружины). При несоблюдении этого усло­вия математическая модель может содержать интегральные опе­раторы.

4.5. Переменные состояния

Переходя к изложению вопросов, связанных с формированием уравнений переменных состояния, будем пользоваться терминами и обозначениями электрических величин. Соответствующие соотношения для других физических систем легко получаются на основе электрических аналогий (см. табл. 1.1).

Так как дифференциальные уравнения переменных состояния должны содержать только производные первого порядка, то для емкостных и индуктивных дуг используются полюсные уравнения в виде:

Напряжения на емкостях иC и токи в индуктивностях iL, произ­водные которых входят в полюсные уравнения, называют диффе­ренциальными переменными. В отличие от них переменные, которые не содержатся под знаком производной, называются алгебраичес­кими переменными.

Ясно, что совокупность переменных состояния системы обра­зуется из всех тех дифференциальных переменных иC и iL, которые являются взаимно независимыми. Поскольку в общем случае век­торы иC и iL могут содержать зависимые переменные, то необходимо выяснить условия такой зависимости и способы выбора взаимно независимой совокупности дифференциальных переменных.

Если некоторый контур содержит только задающие источники напряжения и емкости (рис. 4.3, а), то напряжения на одной из них выражаются через напряжения источников и напряжения на других емкостях контуpa.

Риc. 4.3. Особые контур (а) и сечение (б).

Аналогично при наличии сечения, образованного только задающими источниками тока и индуктивностями (рис. 4.3, б), ток в одной из индуктивностей выражается через токи источников и токи в других индуктивностях сечения. Контуры и сечения, обусловливающие зависимость переменных состояния, будем называть особыми. Так как эта зависимость связана исклю­чительно со структурой схемы, то соответствующие переменные будем называть топологически зависимыми.

Уравнения в неоднородном координатном базисе будут содер­жать все независимые напряжения на емкостях и токи в индуктивностях при условии, что они входят в векторы иХT и iХN. Это можно обеспечить на этапе формировании фундаментального дерева, включая в него все задающие источники напряжения и максимально возможное число емкостных дуг (С-дуг). В то же время все задаю­щие источники тока и максимально возможное число индуктивных дуг (L-дуг) должно остаться в дополнении. Тогда переменные со­стояния представляются векторами напряжений на емкостных ветвях дерева иСT и токов в индуктивных хордах iLN.

Итак, при формировании уравнений переменных состояния необ­ходимо выделить из множества дуг компонентов системы подмно­жества С-дуг и L-дуг, которые будем называть реактивными дугами, а остальные будем рассматривать как х-дуги. Очевидно, изложен­ное выше требование о распределении реактивных дуг между дере­вом и дополнением будет обеспечено, если фундаментальное дерево формировать в соответствии со следующей иерархией дуг:

Дерево

−−−−−−− →

е, С, х, L, j.

←−−−−−−−−

Дополнение

Иерархию внутри х-дуг целесообразно (ходя и не обязательно) принять в соответствии с приведенной в п.(4.4).

4.6. Уравнения переменных состояния

Топологические уравнения в системе координат, которая определяется выбранным в соответствии с изложенными требованиями фундаментальным деревом, запишутся следующим образом:

Каждому из них соответствуют четыре матричных уравнения, образующие четыре пары взаимно дуальных соотношений. Компонентное уравнение для х-дуг в неявной форме имеет вид: