Дискретно-непрерывная математика (стр. 6 )

Ниже рассматриваются полюсные графы и уравнения наиболее часто встречающиеся многополюсных компонент.

2.3. Электронный триод

Идеальный электровакуумный триод (рис. 2.2, а) в квазилинейном режиме без сеточных токов при выборе катода в качестве базисного полюса представляется полюсным графом с дву­мя дугами (рис. 2.2, б), уравнения кото­рых:

где параметры S и Gi называют соответст­венно крутизной и внутренней проводи­мостью.

Рuc. 2.2. Электронный триод (а) и его полюсный граф (б)

Дуга 1 полюсного графа отображает двухполюсник с бесконеч­но большим сопротивлением (разомкнутая дуга) и ее роль сводится к фиксированию напряжения и2 между сеткой и катодом триода. Уравнение дуги 2 можно представить в виде:

где

статический коэффициент усиления;

внутреннее сопротивление.

Как видно, Y-матрица идеального электровакуумного триода является особенной (ее первая строка состоит из нулевых элементов)

поэтому Zд - матрица для этого многополюсника не существует.

Граф схемы с электронными триодами (рис. 2.3, а) показан

на рис. 2.3, б, где первый триод представлен дугами 1' и 2', а второй— дугами 1" и 2", которые выделены жирными линиями.

j

Рис 2.3. Схема с электронными триодами (а) и ее граф (б).

Дуги полюсных графов и источника напряжения имеют строго определенную ориентацию, а дуги пассивных двухполюсников ориентированы произвольно.

2.4. Транзистор

Уравнения низкочастотного транзистора (рис. 2.4, а) в квазилинейном режиме обычно представляются в трех формах:

Рис. 2.4. Транзистор (а) и его полюсные графы при выборе в качестве общего полюса эммитера (б), базы (в) и коллектора (г).

Им соответствуют три системы параметров, которыми служат матрицы g, r, h этих уравнений. Переход от одной системы параметров к другой осуществляется на основе следующих зависимостей:

где через обозначены определители соответствующих матриц, т. е. и т. п.

В зависимости от того, какой из трех полюсов транзистора выбран базисным (общим), имеем три типа полюсных графов: с общим эмиттером (рис. 2.4, б), с общей базой (рис. 2.4, в) и с об­щим коллектором (рис. 2.4, г). Для описания дуг каждого из этих полюсных графов пригодна любая из трех форм уравнений. Разуме­ется, численные значения параметров для различных полюсных графов отличаются между собой, поэтому параметры отличают индексами (э, б, к) соответственно схеме, в которой они определены.

Вид графа транзисторной схемы зависит от выбора базисных полюсов транзисторов. Так, для схемы (рис. 2.5, а) при общей базе для первого транзистора и общем эмиттере для второго транзистора получаем граф, изображенный на рис. 2.5, б (дуги полюсных гра­фов транзисторов выделены жирными линиями).

Рис. 2.5.Транзисторная схема (а) и ее граф (б).

2.5. Трансформатор

Простейший трансформатор представляет собой две индуктивно связанные катушки (рис.2.6, а), полюсные уравнения которых в ли­нейном приближении име­ют вид:

где L1 и L2 — индуктив­ности катушек; M — взаимная индуктивность. Величина М входит в эти уравнения со знаком плюс, если токи в катушках одинаково направлены отно­сительно одноименных полюсов, и со знаком минус, если токи относительно одноименных полюсов направлены противоположно (одноименные полюсы обычно отмечаются жирными точками).

Pис. 2.6. Трансформатор (а), его полюсный граф (б) и идеальный трансформатор (в).

Представив каждую катушку ее полюсным графом (дугой), получим полюсный граф трансформатора, который состоит из двух топологически несвязанных дуг (рис. 2.6, б). Полюсные уравнения трансформатора можно представить в операторной форме следую­щими способами:

Квадратные матрицы YД, ZД и НД в этих уравнениях являются обобщенными параметрами трансформатора. Для характеристики трансформаторов используются также две величины — коэффициент связи k и коэффициента трансформации п, выражаемые соотношениями:

Из физических соображений следует, что k2<1. В предельном (теоретическом) случае при k= 1 говорят о полной связи, причем уравнения трансформатора преобразуются к виду

и представляют собой модель совершенного трансформатора. Как видно, в таком трансформаторе отношение напряжений равно коэф­фициенту трансформации, т. е.

и1=пи2, и1 /и2 =п.

Аналогичное соотношение для токов имеет место при условии

1/pL2→0 , т. е. L2→∞. Для того, чтобы величина п оставалась

конечной, необходимо принять также L1→∞. Тогда i2 =-ni1

и уравнения имеют вид:

Компонент, описываемый этими уравнениями, называют идеальным трансформаторам. Его можно понимать как трансформа­тор с полной связью и бесконечно большими индуктивностями, отношение которых конечно и равно п2. Условное обозначение идеального трансформатора показано на рис. 2.6, в. Его полюсный граф имеет тот же вид, что и в общем случае (рис. 2.6,б), но уравнения могут быть представлены только в смешанной форме. Поэтому в полюсном графе идеального трансформатора дуга 1 является z-дугой, а дуга 2 —

у-дугой.

В общем случае произвольного числа m индуктивно связанных двухполюсников их уравнения записываются в виде:

где Zij=pLij, причем L ij — собственные индуктивности и

Lij (i≠ j) — взаимные индуктивности двухполюсников.

Полюсный граф схемы с двухполюсниками при наличии индук­тивных связей между ними строится так же, как и для обычных схем без индуктивных связей, т. е. каждый двухполюсник представ­ляется дугой, и соединения дуг в графе соответствуют соединениям двухполюсников в схеме. Единственное различие состоит в том, что граф схемы с индуктивными связями может быть несвязным.

2.6. Механические многополюсники

Изложенный метод пред­ставления многополюсных компонент применим к системам любой физической природы. Ниже приводятся полюсные уравнения и по­люсные графы простейших механических многополюсников.

Рычаг (рис. 2.7, а) при малых перемещениях представляется полюсным графом (рис. 2.7, б) и описывается уравнениями

где f1, f 2, f 3 — силы; х1, х2, х3 — перемещения в точках а, b, с рычага; М — масса, приведенная в точке а; п21, п31 — отношения плеч рычага:

п21=l2/l1 , п31=l3/l1

Рис. 2.7. Рычаг (а) и его полюсный граф (б).

Зубчатая передача (рис. 2.8, а) представляется полюсным графом (рис. 2.8, б) и описывается следующими полюсными урав­нениями:

где μ1, μ2 — моменты и φ1, φ2 — углы поворота первого и второго валов; В1 ,В2 — крутильные сопротивления и τ1, τ2 — моменты инерции валов; п12 — передаточное число, равное отношению количества зубьев шестерен:

Рис. 2.8. Зубчатая передача (а) и ее полюсный

граф (б).

Натяжной ролик (рис. 2.9, а) преобразует вращательное движение в поступательное, и его полюсный граф состоит из двух отдельных дуг (рис.2.9,б).

Рис. 2.9. Натяжной ролик (а) и его полюсный граф (б).

Полюсные уравнения натяжного ролика записываются в виде:

где В — крутильное сопротивление; τ — момент инерции и r — радиус ролика.