Дискретно-непрерывная математика (стр. 23 )

(14)

где — одноэлементная блочная группа.

Утверждение 2. Блочную группу А всегда можно представить в виде

(15)

где

Отметим, что выражение (15) в алгебре блочных групп играет роль, аналогичную выражению z = а + ib в теории функций комплексного переменного, с помощью которой можно записать любое комплексное число z =<a, b>.

Блочную группу будем называть структурной еди­ницей, которая служит аналогом действительной или мнимой единицы в области комплексных чисел.

Рассмотрим две произвольные блочные группы А и В. Из определения равенства и суммы блочных групп следует, что существует только одна блочная группа, удовлетворяю­щая равенству

В + X = А, (16)

которую вследствие коммутативности суммирования блочных групп можно переписать как

X +В =А. (16а)

Блочную группу X, удовлетворяющую равенствам (16) и (16а), будем называть разностью блочных групп А и В:

X = А - В.

Действие нахождения разности блочных групп будем называть вычитанием. Легко заметить, что разность блочных групп А и В есть блочная группа X = А + В. Действительно, подставляя в выраже­ние (16) X = А + В, получаем уравнение

В + (А +В) = А,

которое в соответствии с (13б) представляет собой тождество. Таким образом, получаем обоснованное соотношение

А — В = А + В, (17)

которое в случае А = 0 записывается в виде

-В = В. (18)

Из сказанного следует, что на множестве блочных групп вычитание всегда можно заменить сложением. Вычитание, следо­вательно, определено однозначно и всегда, выполнимо, поэтому множество блочных групп замкнуто по отношению к сумми­рованию и вычитанию.

Подводя итог рассмотренным свойствам блочных групп, можно заключить, что кольцо блочных групп 1) не содержит степеней и 2) не содержит коэффициентов (кроме 0 и 1); а 3) сложе­ние идентично вычитанию.

6.2. Свойства блочных групп

6.2.1. Делители нуля

Пусть А* — множество блочных групп X, удовлетворяю­щее уравнению

АХ = 0,

где А — некоторая блочная группа, и пусть А* — элементы этого множества. Тогда

АХ = 0 X = А*і А*. (19)

Блочные группы А* А*, удовлетворяющие уравнению АХ = 0, назы­ваются сопряженными по отношению к А или делителями нуля.

Следствие. Если две блочные группы Х1 и Х2 удовлетворяют равенству АХ = 0, то такому же равенству удовлетворяет их линейная комбинация С1Х1 + С2Х2, а также произведение CX1X2, где C1, С2, С — произвольные блочные группы, включая 0 и 1. Тогда

Х1, Х2 А* C1X1 + С2Х2 A*; CX1X2 А*. (20)

Полагая в выражении (20) С1 = С2 = С = 1, приходим к выводу, что к А* относятся сумма X1+ X2 и произведение X1X2 блочных групп Х1 и Х2, удовлетворяющих уравнению АХ = 0.

Множество А* решений уравнения АХ = 0 можно в общем случае определить с помощью выражения, записанного в символах математической логики:

(АХ = 0) {[а∩х≠Ø] [r(ах) {0,2, ...]}. (21)

Свойство (21) следует непосредственно из определения про­изведения блочных групп.

6.2.2. Делимость блочных групп

Если для двух блочных групп А и В существует такая блочная группа X, что

А = ХВ, (22)

то А делится на В, или В — делитель блочной группы А, т. е.

В | А и А ≠ 0. (23)

Каждая блочная группа А ≠ 1 и А ≠ 0 имеет самое малое два делителя, а именно 1 и А; блочная группа 1, в свою оче­редь, имеет лишь один кратный делитель.

Блочные группы А Ø, содержащие только один дели­тель А, называются простыми блочными группами; любая другая блочная группа называется сложной. Каждый делитель, представляющий собой однострочную блочную группу, называется основным делителем.

Утверждение 3. Блочная группа В представляет собой дели­тель блочной группы А тогда и только тогда, когда она удо­влетворяет следующим условиям:

1) АВ = 0;

2) все столбцы блочной группы А являются подмножествами некоторых столбцов блочной группы В.

Доказательство. Если блочная группа В есть делитель блочной группы А, то существует такая X, что

ВХ = А.

Но это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда все столбцы блочной группы А представляют собой подмножества некоторых столбцов блочной группы В, а В — элемент, сопряженный с А. Следова­тельно,

B|A (AB=0) [ , (аk bk)], (24)

Заметим, что деление, определенное на множестве блочных групп, обладает свойством

А | В и В | С А | С. (25)

Деление также представляет собой слабо симметричное отно­шение, т. е. (А | В и В | А) А = В, что вытекает из следую­щего утверждения.

Утверждение 4. Если блочная группа В — делитель блочной группы А, а блочная группа А — делитель В, то А = В.

Доказательство. Положим, что одновременно имеет место

В | А и А | В.

Из утверждения 3 следует, что тогда могут быть одновременно выпол­нены условия

{, (аk bk)} {, (bk аk)}

что может иметь место только при А = В.

Для блочных групп имеет место правило сокращения, т. е. если СА = СВ, то А = В. Это положение можно обосновать.

Утверждение 5. Уравнение АВ = АХ имеет общее решение на множестве блочных групп

X =В + А*,

где А* — произвольный сопряженный элемент А. Тогда

(АВ = АХ) (X = В + А*; А* A*). (26)

Доказательство. Из уравнения АВ = АХ следует, что А(В+X) = 0 и В + X — блочная группа, сопряженная с А, а соответственно и X=В+А*, где А* — произвольный элемент множе­ства решений уравнения АХ=0. Подставляя число X=В+А* в уравнение АВ=АХ, убеждаемся, что это число действительно удовлетворяет данному уравнению.

Утверждение 6. Каждая сложная блочная группа имеет по крайней мере один делитель, представляющий собой простую блочную группу, не равную единице.

Доказательство. В соответствии с определением сложной блочной группы блочная группа А имеет делители, отличные от 1 и А. Положим в таком случае, что В — один из этих делителей, т. е.

А = Х0В, Х0≠1, В≠1. (27)

Если В — непростая блочная группа, то ее можно представить как В = Х1В1. При этом получим

A= ВlХ0Х1Х2 . . . Хl. (28)

Но для А ≠ 0 должно выполняться неравенство

l ≤ тА, (29)

где тА — число элементов в столбце блочной группы A, содержащем наи­меньшее количество элементов. Множество натуральных чисел {1, 2, . . ., l } имеет наибольший элемент lмакс, поэтому Вlмакс есть простой делитель блочной группы А. Для А = 0 неравенство (29) не должно выполняться, но, согласно изложенному, из произ­вольного делителя блочной группы А (сложной, ненулевой) можно извлечь простой делитель, что и доказывает утверждение 6.

Утверждение 7. Каждая блочная группа представляет собой простую блочную группу или произведение простых блочных групп.

Правильность этого положения следует из утверждения 6. Дей­ствительно, если блочную группу А можно представить в виде (28) с простым делителем Вl, то на простые делители можно раз­ложить каждый дополнительный делитель Х0, X1, X2, …., Xl. Тогда блочную группу можно всегда представить в виде про­изведения простых блочных групп