Дискретно-непрерывная математика (стр. 5 )

Приведенные соотношения можно рассматривать как аналоги для нелинейных и параметрических двухполюсников любой физической природы, если понимать под входящими в эти соотношения символами величины в соответствии с табл. 1.1.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Какие дуги графа на рис. 1.5, в являются y-дугами, z-дугами и

w-дугами?

2. К каким типам дуг относятся дуги пассивных двухполюсников (электрических, механических, пневматических) при условии, что их уравнения не должны содержать интегралов?

3. Определите ранг и цикломатическоечисло графа электрической схемы (рис. 1.5, в) и запишите уравнения по законам Кирхгофа для вершин и контуров, охватывающих ячей­ки графа.

4. Определите ранг и цикломатическое чикло графа механической схемы (рис. 1.7, в) и запишите уравнения по принципу Даламбера для вершин и уравнения из условия непре­рывности для скоростей по контурам, охваты­вающим ячейки графа.

5. Постройте граф двойной Т-схемы (рис. 1.13). Является ли полученный граф плоским?

Рис. 1.13. Двойная Т-схема..

6. При моделировании человеческого тела используется механическая моделъ, изображенная на рис. 1.14.

Рис. 1.14. Механическая модель человеческого тела.

Постройте граф этой модели с учетом сил тяжести, приложенных к массам частей тела и силы f(t), действующей на тело в сидячем положении. Определите ранг и цикломатическое число получен­ного графа.

7. Постройте схему и граф механической системы (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Механичес­кая поступательная система.

Масса М1подвешена к пружине, жесткость которой К1. К массе М1 присоединен демпфер, состоящий из катаракта, пружины и массы. Шток, на нижний конец которого насажен поршень катаракта, жестко соединен с массой М1. Камера катаракта, масса которой М2, опирается на пружину с жесткостью К2. Противоположный конец этой пружины прикреплен к поршню катаракта. Вязкое трение в катаракте характеризуется сопротивлением B1. Верхнему концу пружины К1 сообщается возвратно-поступательное движение, ско­рость которого задается функци­ей u(f).

8. На рис. 1.16 дано упрощенное изображение системы подвески авто­мобиля. Предполагается, что на каждое из четырех колес действуют одина­ковые усилия φ(f), и вибрации происходят в вертикальном направлении. Параметры компонент указаны на рисунке. Постройте схему и граф этойсистемы.

Рис. 1.16. Система подвески автомобиля.

9. Постройте граф гидравлической системы, изображенной на рис. 1.17.

Рис. 1.17. Гидравлическая система.

Три участка водопровода характеризуются гидравлическими сопротивле­ниями R1, R2, R3 и инертностями (индуктивностями) L1, L2, L3 (влиянием остальных участков пренебрегаем). Резервуар и уравнительная трубка ха­рактеризуются соответственно емкостями С4 и С5. Насос является источником разности давлений p(t), а клапан регулирует поток жидкости по закону g(t) и может рассматриваться как источник потока. Давление в точках а, f, g,h одинаково и равно атмосферному давлению.

10. Воспользовавшись табл. 1.1, запишите нелинейные и параметрические сотношения для механических и пневматических двухполюсников и дайте им соответствующие истолковния.

2. МНОГОПОЛЮСНЫЕ ГРАФЫ

2.1. Полюсный граф многополюсника

Компонент, имеющий m+ 1 полюсов, посредством которых он может объединяться с дру­гими компонентами, характеризуется т независимыми попереч­ными переменными η1, η2, ..., ηт и т независимыми продольными переменными ξ1, ξ2, ..., ξт.

Действительно, с каждым полюсом связана поперечная пере­менная

(рис. 2.1, а), но поскольку алгебраическая сумма поперечных переменных равна нулю, то одна из них зависима и вы­ражается через остальные т переменных. Каждая про­дольная переменная связана с парой полюсов и отобража­ется соответствующим ребром. Совокупность ребер независимых переменных должна образовать дерево на множестве т + 1 полюсов многополюсника (рис. 2.1,б). Любое другое ребро, связы­вающее пару каких-либо по­люсов, образует с совокуп­ностью ветвей дерева контур, и, следовательно, любая дру­гая продольная переменная может быть выражена через некоторую совокупность независимых продольных переменных.

Рис. 2.1 Представление многополюсника.

а — поперечные переменные; б— продольные переменные;

в — полюсный граф; г — попереч­ные и продольные переменные, соответствующие полюсному графу.

В качестве стандартного представления совокупности независимых переменных многополюсника удобно принять звездное дерево с центром в некотором полюсе, называемом базисным (рис. 2.1, б). Остальные вершины этого дерева соответствуют т полюсам многополюсника (кроме базисного) и нумеруются порядковыми числами от 1 до т, а базисному полюсу обычно присваивается

обозначение 0. Ветви дерева ориентируются одинаково относительно базисного полюса; чаще всего они напрвляются к базисному узлу, что соответствует направлению поперечных переменных внутрь многополюсника и продольных переменных – от базисного по­люса к соответствующим полюсам (рис. 2.1, г) Таким образом, с каждым небазисным полюсом связаны продольная и поперечная переменные, которые нумеруются теми же числами, что и соответ­ствующий полюс, и называются полюсными переменными.

Звездное дерево с т ветвями, направленными к базисному полюсу (рис. 2.1, в), представляет собой полюсный граф компоненты с т + 1 полюсами. Каждая ветвь этого графа характеризуется соответствующим уравнением системы т уравнений, связывающих независимые поперечные и продольные переменные многополюсной компоненты.

Если продольные временные заданы произвольным деревом, то они легко могут быть выражены через полюсные переменные. Так, для продольных переменных пятиполюсника (рис. 2.1, б) при базисном узлe 5 имеем:

ξ1 =ξ'2 - ξ'1 , ξ2= ξ'3 -ξ'2; ξ3 =ξ'4 -ξ'1 ; ξ4 = -ξ'4.

где полюсные переменные отмечены штрихами.

2.2. Уравнения многополюсника

Для описания линейной компоненты с т+1 полюсами используются три различные формы п соотношений, называемые полюсными уравнениями. Уравнения, записанные относительно поперечных переменных, имеютвид :

или в матричной форме

где

вектор поперечных переменных;

вектор продольных переменных (оба вектора входят в уравнения как столбцевые матрицы); Yд — квадратная матрица т-го порядка

Уравнения, записанные относительно продольных переменных,

имеют вид:

или в матричной форме

где Zд — квадратная матрица m-гo порядка

Матрицы Yд и Zд однозначно характеризуют многополюсник относительно принятой нумерации полюсов и выделенного базис­ного полюса и являются его обобщенными параметрами. Они связаны зависимостями

Oбе матрицы существуют в случае, когда каждая из них неособенная. Если же матрица Yд (или Zд ) особенная, то матрица Zд ( или Yд ) не существует.

В смешанной ( гибридной ) форме часть уравнений выражены относительно продольных переменных, объединенных в векторе ξ'д, а остальная часть – относительно поперечных переменных, объединенных в векторе η′′д, т. е.

где гибридная матрица Нд записать в блочном виде через субматрицы Н11, Н12, Н21 и Н22. Решив это уравнении относительно векторов η′д и η′′д , получим

что равносильно уравнению ηд = Yдξд. Таким образом, получаем соотношение для матрицы Yд через блоки матрицы Нд:.

Аналогично для матрицы Z находим:

Дуга полюсного графа многополюсника описывается тем урав­нением, которое представлено относительно связанной с ней попе­речной или продольной переменной (в первом случае она относится к у-дугам, а во втором — к z-дугам). В отличие от уравнения дуги двухполюсной компоненты, правая часть уравнения дуги полюс­ного графа многополюсника может содержать любые переменные, связанные с дугами этого графа.