Дискретно-непрерывная математика (стр. 29 )

Определение 4. Блочной группой k-го ранга kА назы­вается семейство множеств kаj

kA = { kаj }j =1,2.....п, (27)

где

kаj = {k-1Aіj}i=l,2.....m,

k-1Aіj - блочная группа (k — 1)-го ранга. Блочную группу k-го ранга можно также записать в виде

(28)

или

kА= (29)

где элементы — блочные группы (k — 1)-го ранга.

Введем понятие замещающей блочной группы для блочной группы (k — 1)-го ранга.

Определение 5. Замещающющей блочной группой для блочной группы k-го ранга kА называется блочная группа 1-го ранга А, полученная применением операций алгебры блочных групп над замещающими блочными группами для блочных групп (k — 1)-го ранга, являющимися элементами блочной группы kА:

kА= (30)

где Aij — замещающая блочная группа для k-1Aij. Обозначим соотношение соответствия замещающей блочной группы А блочной группе kА через

А kА или kА А. (31)

Для блочной группы k-го ранга определим понятие равенства, а также операции сложения и умножения

(32)

Таким образом, соотношение представляет собой гомеоморфизм.

Для блочной группы k-го ранга справедливы следую­щие соотношения:

(kА kВ) (kВ kА) (kА = kВ), (33)

{kС = (kА kВ)} (kС = kА + kВ), (34)

[kС = {kс | (kс =kа kb) (kа kА) (kb kB) (kа kb = Ø)

(r (kа kb) = 2n - 1)}] (kС =kА·kВ), (35)

где есть симметричная разность, r — функция повторений, а n — натуральное число.

Формулы (32) можно обобщить на блочные группы разных рангов kА и тВ (k > 1, m > 1):

(36)

Подобно блочным группам 2-го ранга, равенство блочных групп k-го ранга рефлексивно, симметрично и транзитивно, операции сложения и умножения коммутативны и ассоциативны, а умножение дистрибутивно относительно сложения. Поэтому можно написать следующие соотношения:

[kА1[kА2 kА3]] = [[kА1 kА2] kА3] = [kА1 kА2 kА3],

Модуль сложения k[ ] = 0 блочных групп k-го ранга есть всякая блочная группа k-го ранга, замещающая блочная группа которой служит модулем сложения [ ] блочных групп первого ранга.

Модуль умножения k[Ø] = 1 блочных групп k-го ранга представляет собой всякую блочную группу k-го ранга, замещающая блочная группа которой служит модулем умножения [Ø] блочных групп первого ранга. При этом справедливы следующие соотношения и соответствия:

1. (37)

2. (38)

где — множество блочных групп k-го ранга

kА ={k-1[Ø], kа1, kа2, . .}

3. ([kA1 .... kAj . .. kAп = 0){( kAj =[ kA1 ... kAj-1kAj+1 … kAn])

(kA1 = kA2 = . . . = kAj = . . . = kAn = 0)},

j = 1, 2, . . ., n. (39)

4. (40)

где обозначает отрицание импликации

5. Равенство

(41)

не имеет единственного решения.

6. (42)

Если элементы блочной группы k-го ранга kAd являют­ся дополнительными блочными группами (k-1)го ранга k-1Adі

kAd ={kadj}j=1,2....п, kadj = { k-1Adі }i=1,2,..,т, (43)

то блочная группа kAd называется дополнительной блочной группой k-го ранга.

Для дополнительных блочных групп k-го ранга справедливы те же операции, что и для блочных групп k-го ранга.

7.2.1. Алгебраическая производная и обратная производная блочной группы k-го ранга

Подобно блочным группам второго ранга, определим алгебраическую производную и обратную производную блочных групп k-го ранга с помощью понятий производной и обратной производной замещающей блочной группы.

Определение 6. Алгебраической производной (обратной про­изводной) [д(kА)/дα] [δ(kА)/δα] блочной группы k-го ранга kA по элементу α называется всякая блочная группа k-го ранга, замещающая блочная группа которой (дА/дα) (δА/δα) есть алгебраическая производная (обратная производная) замещающей блочной группы А для блочной группы kА по элементу α. Это опре­деление можно представить в виде следующих соотношений:

(44)

На основании правил для производной и обратной производ­ной суммы и произведения блочных групп первого ранга можно написать следующие соотношения для блочных групп k-го ранга:

(45)

(46)

(47)

(48)

Из правил (23) для алгебраической производной блочных групп по сумме и произведению одноэлементных блочных групп имеем

(49)

(50)

(51)

Эти зависимости представляют собой обобщения формул (24) и (25). Обобщения формул (19) и (20) в виде

(52)

(53)

также справедливы.

Пример 3.

7.2.2. Геометрическое изображение блочной группы k-го ранга

Обозначим класс подобных графов, представляющих собой геометрическое изображение блочной группы первого ранга А, определенной на конечном множестве элементов αij, и — функцию гомеоморфного преобразования (отображения).

: →А. (54)

Пусть А — множество всех равных блочных групп ранга k > 1.

A={kA | kA A}, k=2, 3, ... . (55)

Преобразование класса подобных графов в множество А блочных групп определим как