Дискретно-непрерывная математика (стр. 49 )

Далее, рассматривая ориентацию ребер α и β, находим

Искомые передаточные функции имеют вид

Пример 7. Определить передаточные функции Ки и Kі четырехполюсника (Т-образный мост), изображенного на рис. 7, а, выражая их через проводимости ветвей цепи.

Рис. 7.

Решение. Блочную группу А определим на основании утверждения о простых однострочных сомножителях. Получим (рис. 7, б)

А = [3 5 6] [5 2 8] [6 1 2 4] [7 4 8].

Отсюда

Рассчитаем алгебраические производные дА/d1 и дА/д2:

Затем, рассматривая ориентацию ребер 1 и 2, находим

(10)

Обратная производная равна

Поэтому по формуле (9) получим

где N определяется из выражения (10), а

Рассмотрим ненагруженный четырехполюсник (рис. 8),

Рис. 8.

Режим холостого хода можно считать предельным случаем работы четырехполюсника, нагруженного импедансом zβ при zβ→∞. Если при этом применить соответствующую расчетную формулу, то решение значительно упрощается. Простые рас­суждения приводят к следующей формуле для передаточной функции напряжения ненагруженного четырехполюсника:

(11)

В этом выражении Dβ — однострочная блочная группа, состоящпя из элементов какого-либо пути, соединяющего выход­ные зажимы (а, b) четырехполюсника и не содержащего элемен­та α. Знаки слагаемых функции совпадения определяются, как и в предыдущем случае, но с той лишь разницей, что исследуется совпадение ориентации ребра α с направлением стрелки выход­ного напряжения U2 четырехполюсника.

Практическое применение формулы (11) иллюстрируют сле­дующие примеры.

Пример 8. Определить Ки мостового четырехполюсника (рис. 9).

Рис. 9.

Решение. Блочная группа (рис. 9, б) равна

А = [1 2 4] [1 3 5],

или

а алгебраическая производная имеет вид

Путь, соединяющий вершину (а) с вершиной (б), можно записать в виде

D1β = [3 4] или D2β = [2 5].

Легко проверить, что конечный результат будет одинаков независимо от того, используется в дальнейших расчетах путь D1β или D2β. Например, произведение равно

а

Рассматривая ориентацию ребра 1 и напряжения U2, получим

Окончательно

Пример 9. Определить передаточную функцию напряжения Ки четырехполюсника (рис. 10, а).

Рис. 10.

Решение. Имеем (рис. 10, б)

А = [1 2] [2 4 5] [2 3 6],

или

Кроме того,

поэтому

Передаточная функция напряжения запишется в виде

На практике часто встречается режим работы четырехполюс­ника с идеальным источником напряжения. При этом передаточ­ная функция напряжения может быть определена по формуле

(12)

где Dα — блочная группа, соответствующая пути между узла­ми, к которым подключен идеальный источник напряжения; Dβ — блочная группа, соответствующая пути между измери­тельными (выходными) узлами четырехполюсника.

Выражение (12) можно использовать как для нагруженного четырехполюсника, так и для четырехполюсника в режиме холо­стого хода. Приведем пример использования этой формулы.

Пример 10. Рассчитать передаточную функцию напряжения четырехполюсника (2Т-образного моста), изображенного на рис. 11, а.

Рис. 11.

Решение. Блочная группа А рассматриваемого графа равна (рис. 11, б)

Кроме того,

Dα =[1], Dβ =[3 4],

а также

Поэтому

9.1.2. Анализ пассивного двухполюсника

Методом блочных групп можно определить входной импе­данс или адмитанс пассивной цепи любой сложности. Так как каждый двухполюсник практически всегда работает с источником, имеющим некоторое внутреннее сопротивление или проводимость, то рассмотрим два случая (рис. 12), учитывающих внутренний иммитанс источника.

Рис. 12. Двухполюсник с вынесенным импедансом.

Для случая, показанного на рис. 12, а, можно получить следующие формулы для входного импеданса Z:

(12а)

Для рис. 12,б имеем

(12б)

Во всех приведенных формулах А — блочная группа, гео­метрическим изображением которого служит граф двухполюс­ника. В первом случае это граф с замкнутыми входными зажи­мами, во втором случае — с разомкнутыми. Вывод формул (12) не представляет особой трудности. В качестве примера докажем первую из формул (12б). Из теории цепей известно, что импе­данс, измеренный между зажимами а и b, можно записать

где ∆ и ∆аb — определители матрицы контурных сопротивлений цепи соответственно при разомкнутых и замкнутых вершинах а и б. Кроме того,

где формула для Ааb следует из рассмотренного ранее свойства 2.

Проиллюстрируем формулу (12) на примерах.

Пример 11. Определить импеданс мостового двухполюсника (рис.13,а).

Рис. 13.

Решение. Определим импеданс по первой из формул (12б). Дополнительная блочная группа Ad (рис. 13, б)

равна

Ad=[1 3 5] [2 3 6] [2 4 5],

или

а производная имеет вид

Поэтому

Пример 12. Определите импеданс двухполюсника (рис. 13), используя вторую из формул (12б).

Решение. В этом случае блочная группа равна

А = [1 3 6] [2 3 5] [2 4 6].

Следовательно,

а также

В результате получим

9.1.3. Анализ произвольных цепей

Пусть дана цепь, состоящая из взаимных элементов и источ­ников напряжения. Если в цепи имеются источники тока, то по известным формулам их легко заменить на источники напряже­ния. На структуру цепи ограничения не наложены. Выделим в цепи ветви с интересующими нас токами (рис. 14).

Рис. 14. Электрическая сеть произвольной структуры с выне - сенными ветвями.

Рассмотрение этой цепи всегда можно свести к случаю воз­действия одного источника напряжения, применив для произволь­ного числа источников принцип суперпозиции.

Если цепь содержит один источник напряжения, то ток Іβ в любой ветви можно представить в виде

Іβ = Кі Е, (13)

где Кі — передаточная функция тока.

В общем случае имеем

(14)

причем суммирование проводится по всем источникам.