Дискретно-непрерывная математика (стр. 70 )

Приведение расчетной схемы на первом этапе заключается в выравнивании силовых и скоростных харак­теристик элементов схемы и сведении разнородных движе­ний элементов к одному виду.

Второй задачей приведения является уменьшении числа степеней свободы схемы, т. е. преобразование п-мерной схемы в 1 - мерную, где 1< п.

Основанием для приведения параметров расчет­ных схем и уменьшения их размерности являются соответ­ственно допущения о равенстве потенциальных и кинетичес­ких энергий и работ внешних сил на участках приведения и о совпадении частот и форм свободных колебаний исход­ной и приведенной системы в заданном частотном диапазоне

На рис. 2, а изображена кинематическая схема при­водного механизма, которая одновременно может рассмат­риваться и как расчетная схема данной системы. На рис. 2, б показана приведенная расчетная схема, полученная пу­тем упрощения указанной кинематической схемы.

Рис. 2

На рис. 3 представлена блок-схема алгоритма рас­чета значений приведенных параметров расчетных схем многомассовых систем на первом этапе приведения.

Рис. 3

Вычис­ления приведенных параметров схемы производятся по сле­дующим зависимостям:

(1)

(2)

(3) (4) (5) (6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

где

- соответственно приведенная масса и масса - го звена однородной системы (с одним видом движения звеньев);

- линейные скорости соответственно -го звена и зве­на приведения;

- приведенный момент инерции и момент инерции -го звена однородной системы;

- угловые скорости соответ­ ственно -го звена и зве­на приведения;

- соответственно приведенная масса, момент инерции и уг­ловая скорость -го звена смешанной системы;

- приведенный момент инерции и масса и линейная скорость -го звена смешанной сис­темы;

- соответственно приведенная сила и сила на -м звене однородной системы;

- угол между направлениями скорости и силы на -м звене;

- приведенный момент и момент на - м звене одно­родной системы;

- соответственно приведенная сила и момент на -м звене смешанной системы;

- приведенный момент и сила на -м звене смешанной системы;

- угол между направлениями слорости и силы на -м звене;

- приведенная линейная жесткость и линейные жесткости звеньев однородной системы;

- передаточные отношения между звеньями системы и зве­ном приведения;

- приведенная угловая жест­кость и угловые жесткости звеньев однородной системы;

- приведенная линейная жесткость смешанной системы;

- приведенная угловая жест­кость смешанной системы;

- радиус приведения;

Составление расчетных схем методом замещения заключается в замене схемы проектируемого устрой­ства на основе принципа аналогий эквивалентной по своим динамическим свойствам системой, которая более удобна для решения поставленной задачи, например, для анализа колебательных процессов в системе. Схематизация систем подобным образом не поддается формализации и в каждом конкретном случае производится на основе эвристических предпосылок: опыта, интуиции и т. п. На рис.2, в показана система с гибкой связью и ее расчетная схема, полу­ченная методом замещения.

4. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ

РАСЧЕТНЫХ СХЕМ

Математическое описание расчетных схем объек­тов проектирования осуществляется с использованием двух групп математических методов:

методов описания на основе соответствующих принци­пов и законов теоретической механики и теории механиз­мов и маиин;

граф-аналитичоских методов, основанных на принципе топологической интерпретации физических свойств и структуры систем.

Выбор конкретного метода математического опи­сания зависит от вида расчетной схемы, исходных условий задачи, а также требований, предъявляемых к процессу описания и математической модели системы.

Такими требованиями являются:

простота и формализм процесса описания;

инвариантность процесса описания относительно чис­ла степеней свободы изучаемой системы;

инвариантность процесса описания относительно нели­нейности и физической природы компонент системы;

возможность учета параметров и структуры системы в явном виде;

удобство и простота последующего поиска аналитиеских или численных решений.

Методы первой группы целесообразно применять при описании относительно простых расчетных схем, полу­ченных методом приведения или замещения. Граф—аналити­ческие методы наиболее эффективны при описании сложных расчетных схем, эквивалентных по своей структуре и сос­таву кинематическим схемам объектов проектирования.

Рассмотрим методы описания на основе законов механики,

Описание расчетных схем на основе законов механики осуществляется следующими методами:

- на основе принципа Даламбера;

- да основе уравнений Лагранжа второго рода;

- путем составления уравнений движения в виде урав­нений моментов или сил либо в виде уравнения кинетичес­ких энергий.

Уравнения Даламбера записываются в виде

(13)

где - соответственно равнодействующие сил

движущих и сил сопротивления, дей­ствующих на -ю массу;

- сила инерции, приложенная к -й массе;

=1, 2,…,

Уравнения Лагража второго рода составляют­ся в виде системы из п дифференциальных уравнений второго порядка с п неизвестными функциями времени

(14)

где Т, П - соответственно кинетическая и потенци­альная энергия сосредоточенных масс системы;

- соответственно обобщенная координата и обобщенная скорость -й массы;