Дискретно-непрерывная математика (стр. 28 )

где

2аj ={Aij} i=1, 2,..,m ,

Aij — бочная группа первого ранга.

Блочную группу первого ранга можно также записать в виде

(2)

или

2А= (3)

где элементы Аij — блочные группы первого ранга.

Введем понятие замещающей блочной группы первого ранга для блочной группы второго ранга.

Определение 2. Замещающей блочной группой для блочной группы второго ранга 2А называется блочная группа первого ранга А, полученная применением операций алгебры блочных групп над элементами Аij числа 2А:

2А= (4)

Обозначим соотношение соответствия замещающей блочной группы А блочной группе 2А через

А 2А или 2А А. (5)

Поясним способ нахождения замещающей блочной группы следующим примером:

Определим для блочной группы второго ранга понятие равенства, а также операции сложения и умножения:

(2А = 2В)(А =В), (6)

2А +2В А +В, (7)

2А·2В АВ, (8)

где А 2А, В 2В.

Таким образом, соотношение представляет собой гомео­морфизм.

Для блочных групп второго ранга справедливы сле­дующие соотношения:

{(2А2В)(2В2А)}(2А=2В), (9)

{2С = (2А 2В)} (2С = 2А + 2В), (10)

[2С = {2с | (2с =2а 2b) (2а 2А) (2b 2B) (2а 2b = Ø)

(r (2а 2b) = 2k - 1)}] (2С - 2А·2В),

(11)

где означает симметрическую разность, r— функция повторе­ний, а k — натуральное число.

Заметим, что равенство блочных групп второго ранга рефлексивно, симметрично и транзитивно, операции сложения и умножения коммутативны и ассоциативны, а умноже­ние дистрибутивно по отношению к сложению.

Модуль сложения 2[ ] = 0 блочных групп второго ранга есть всякая блочная группа второго ранга, замещающая блочная группа которой служит модулем сложения [ ] блочных групп первого ранга; а модуль умножения [Ø] = 1 блочных групп второго ранга представляет собой всякую блочную группу второго ранга, замещающая блочная группа которой служит модулем умножения [Ø] блочных групп первого ранга. При этом справедливы следующие соотношения:

1. (12)

2. (13)

где — множество блочных групп вида

А ={[Ø], а1, а2, . .}

3. ([A1 .... Aj . .. Aп = 0){(Aj = [A1 ... Aj-1Aj+1 … An])

(A1 = A2 = . . . = Aj = . . . = An = 0)},

j = 1, 2, . . ., n.

(14)

4. (15)

где обозначает отрицание импликации

5. Равенство

(16)

не имеет единственного решения для А1 и А2.

6. (17)

Блочную группу второго ранга 2Ad, элементы которой — дополнительные блочные группы Adij, назовем дополнительной блочной группой второго ранга. Для дополнительных блочных групп второго ранга при­меняем те же самые операции, что и для блочных групп первого ранга, поэтому приведенные выше определения и соот­ношения справедливы также и для дополнительных блочных групп второго ранга 2Ad.

Если в блочной группе 2A все элементы Aij заменить на их дополнитель­ные блочные группы Adij, то получим дополнительную блочную группу второго ранга (2A)d*, замещающая блочная группа которой Ad* в общем случае не равна дополнению Ad замещающей блочной группы А для блочной группы 2А, т. е.

Ad* ≠ Ad, Ad* (2A)d*, A2A,

а следовательно,

2Ad ≠ (2A)d*.

7.1.1. Алгебраическая производная и обратная производная блочной группы второго ранга

Алгебраическую производную и обратную производную опре­делим на основе понятий производной и обратной производной замещающей блочной группы.

Определение 3. Алгебраической (обратной) производной д(2А)/дα·[δ(2А)/δα] блочной группы второго ранга 2А по элементу α называется всякая блочная группа второго ранга, замещающая блочная группа которой дА/дα·(δА/δα) есть производная (обратная роизводная) замещающей блочной группы А для блочной группы 2А по элементу α. Это определение можно пред­ставить в виде соотношений

(18)

На основании правил для производной и обратной производ­ной суммы и произведения блочных групп первого ранга можно написать следующие соотношения для блочных групп второго ранга:

(19)

(20)

(21)

(22)

Следовательно, обратная производная δ(2А)/δα — операция аддитивная и мультипликативная.

На основе этих соотношений можно определить алгебраиче­ские производную и обратную производную по элементу α, любой блочной группы второго ранга.

Пример 1.

Если, например, блочные группы А1 и А2 не содержат элемента α, то

По этим же правилам находятся алгебраическая производная и обратная производная дополняющих блочных групп второго ранга.

Для определения алгебраической производной блочной группы второго ранга 2А по элементу блочной группы первого или второго ранга принимаем следующие правила:

(23)

из которых следует

(24)

и

(25)

как естественное обобщение соотношения ∂A/∂α=(Ad[α])d, а также

(26)

где А2А.

Пример 2. Найдем алгебраическую производную блочной группы второго ранга

по блочной группе первого ранга

Решение

7.2. Блочные группы k-го ранга

Блочные группы k-го ранга построим из блочных групп (k — 1)-го ранга подобно тому, как были построены блочные группы 2-го ранга. В связи с этим введем следую­щее определение.