Дискретно-непрерывная математика (стр. 3 )

Рис. 1.5. Электрическая схема (а) и ее изо­морфные графы (б и в).

Направления дуг пассивных двухполюсников можно выбирать произвольно. Дуги активных двухполюсников ориентируются по направлению источника тока и противоположно направлению источника напряжения (это связано с тем, что направление дуги указывает на положительное направ­ление тока и противоположно положительному направлению напряжения).

Удобный практический прием построения графа для данной схемы состоит в следующем. На схеме выделяется внешний кон­тур и изображается замк­нутой линией (например, окружностью), на которой размещаются соответст­вующие вершины. Затем граф дополняется теми ребрами и вершинами, которые отсутствуют во внешнем контуре. Так, на рис. 1.5, в показан изоморфный граф, построенный по этому способу.

Уравнения связей выражаются законами Кирхгофа, представ­ляющими условие непрерывности для токов и условие равновесия для напряжений в любой момент времени t:

1) алгебраическая сумма токов для любой вершины равна нулю (первый закон Кирхгофа), т. е.

∑i(t) = 0;

2) алгебраическая сумма напряжений в любом контуре равна нулю (второй закон Кирхгофа), т. е.

∑u(t) = 0.

1.4. Механические поступательные системы

Идеальные пассивные двухполюсники механических систем - это механическое сопротив­ление, масса и упругость. Перемещение х(t) и скорость v(t) являются продольными переменными, а сила f(t) — поперечной переменной.

Сопротивление (рис. 1.6, а) представляет собой компонент, который отражает превращение механической энергии в тепло. В простейшем случае предполагается, что это превращение проис­ходит в результате вязкого трения, сила которого fB(t) пропорцио­нальна относительной скорости vB(i) трущихся тел, т. е.

Здесь В — параметр, называемый механическим поступатель­ным сопротивлением, a 1/B — инверсное сопротивление или подат­ливость. Полюсы элемента сопротивления соответствуют твердым телам, между которыми имеет место вязкое трение.

Pис. 1.6. Идеальные механические (поступательные) двухполюсники:

а — сопротивление; б - масса; в - упругость; г – источник скорости,

д – источник силы.

Масса (рис. 1.6, б) — ком­понент, накапливающий кине­тическую энергию и, следова­тельно, обладающий механичес­кой инерцией. Зависимость меж­ду силой инерции fМ(t) и пере­мещением xM(t) или скорости vМ(t) массы М относительно выбран­ной точки отсчета выражается соотношениями:

где 1/М называется инверсной массой. Один из полюсов компо­нента массы связан с движущимся телом, а другой — с неподвиж­ной или равномерно движущейся системой координат (точкой отсчета перемещения и скорости).

Упругость (рис. 1.6, в) – компонент накапливающий потенциальную энергию. Этот двухполюсник можно представить как пружину, концы которой соответствуют его полюсам. В линейном случае предполагается, что такая пружина не обладает массой и сила fк(t) реакции пропорциональна относительному перемещению xк(t) ее концов, т. е.

где К - параметр, называемый жесткостью; 1/К —гибкостью.

Идеальные источники механической энергии могут быть двух типов. Задающая скорость u(t) какой-либо точки системы представляется

источником скорости (рис. 1.6, г), один полюс которого связан с этой точкой, а другой — с той точкой системы, относительно которой эта скорость задается. Скорость такого двухполюсника не зависит от приложенных сил, т. е. vu(t)=u(t). Истопник силы изображается двухполюсником (рис. 1.6, д), полюсы которого соответствуют точкам приложения силы и ее реакции, причем сила в этом двухполюснике определяется некоторой функцией времени φ(t) и не зависит от скорости, т. е.

fФ(t) =φ(t)

На основании приведенных определений можно построить схему механической поступательной системы. При этом узлы схемы соответствуют соединениям компонент системы, которые могут рассматриваться как единое целое, а соединяющие линии – жестким связям между компонентами. Переход от механической схемы к ее графу, как и для электрической схемы, на основе соответствия между инцидентностью идеальных двухполюсников узлам схемы и инцидентностью дуг и вершин графа. Направления дуг для пассивных двухполюсников принимаются в соответствии с выбранной системой отсчета (противоположно направлению перемещений х), а ориентация дуг источников определяется заданными направлениями (для источников силы они совпадают, а для источников скорости — противоположны).

Рис.1.7. Механическая поступательная система (а), ее схема (б)

и ее граф (в).

Пусть, например, в системе (рис. 1.7, а), движение которой может совершаться только по вертикали, платформа массой М3 движется с заданной скоростью и(t). Схема этой системы показана на рис. 1.7, б, а ее граф — на рис. 1.7, в. При достаточном навыке граф можно построить и непосредственно из рассмотрения условного изображения механической поступательной системы без промежуточного вычерчивания ее схемы.

Уравнения связей механической поступательной системы вы­ражают условие равновесия сил и условие непрерывности для ско­ростей (или перемещений):

1) алгебраическая сумма сил для любой вершины равна нулю (принцип Даламбера):

∑ f (t)= 0;

2) алгебраическая сумма скоростей (перемещений) в любом контуре равна нулю:

∑ v(t)= 0.

1.5. Механические вращательные системы

Соотношения для механических вращательных систем аналогичны соотношениям для поступательных систем. Переме­щению x(t) соответствует угол поворота φ(t), линейной скоро­сти v(t) — угловая скорость ω(t), силе f (t)- вращающий момент μ (t) . Cooтветственно для механических вращательных систем имеем три пассивные компоненты и два идеальных источника, для обозначения которых можно использовать те же символы, что и для поступательных систем.

Вращательное сопротивление (рис. 1.8, а) характеризует рассеивание механической энер­гии в тепло за счет вязкого трения:

где В — крутильное сопротивление; 1/В — инверсное сопротив­ление.

Рис. 1.8. Идеальные механические (вращательные) двухполюсники:

а—вращательное сопротивление; б — вращаю­щаяся масса;

в — вращательная упругость; г — источник угловой скорости;

д — источ­ник момента.

Вращающаяся масса (рис. 1.8, б) — компонент, характеризую­щий кинетическую энергию вращательного движения:

где J — момент инерции.

Вращательная упругость (рис. 1.8, в) — компонент, накапли­вающий потенциальную энергию вращательного движения:

где К — крутильная жесткость; 1/К — гибкость.

Идеальный источник может быть источником угловой скорости (рис, 1.8, г), характеризующимся задающей угловой скоростью ω(t) и источником момента (рис. 8.8, д), характеризующимся задающим моментом m(t).

Пример построения схемы и графа механической вращательной системы показан на рис. 1.9. Узлы графа соответствуют вращаю­щимся массам, а направления ребер принимаются в соответствии с выбранным положительным направлением отсчета угла поворота. Параметры J1 и J2, означают моменты инерции роторов, В1 и В2 — вязкое трение в опорах, a К1 — жесткость вала.

Рис. 1.9. Механическая вращательная система (а), ее схема (б) и

граф (в).

Уравнения связей механической вращательной системы выра­жают условие равновесия моментов и условие непрерывности угло­вых скоростей (или углов поворота):

1) алгебраическая сумма моментов для любой вершины равна нулю:

∑ μ (t) = 0;

2) алгебраическая сумма угловых скоростей (углов поворота) в любом контуре равна нулю:

∑ω(t)=0.

1.6. Пневматические системы

Движение газа в ограниченной среде характеризуется зависимостью между давлением p(t) и потоком g(t), который выражается как количество молекул, проходящих в единицу времени. Используются три пассивные двухполюсные компоненты, представляющие собой идеализированные свойства пневматических систем: сопротивление, инертность и упругость. При этом поток рассматривается как поперечная величина, а давле­ние (разность давлений) — как продольная величина.