Дискретно-непрерывная математика (стр. 53 )

(4)

Аналогичные определения и соотношения имеют место и для детерминантной функции дополнительной блочной группы Аd и полной блочной группы d. Эти функции определим на множе­стве комплексных чисел, равных импедансам ветвей цепи. Поэто­му имеем

, (5)

, (6)

где ∆d — детерминантная функция дополнительной блочной группы Ad, равная определителю матрицы контурных сопротивлений электри­ческой цепи, граф которой служит геометрическим изображением дополнительной блочной группы Ad, а импедансы ветвей образуют множе­ство Z комплексных чисел.

Можно проверить, что

(7)

(8)

где уі=z-1і — адмитанс ветви αi, g — число всех ветвей цени.

Детерминантную функцию блочной группы второго ранга 2А можно определить двумя способами:

1. , (9)

2.

(10)

Это означает, что в первом случае блочную группу 2А приводим к заме­щающей ее блочной группе А первого ранга, а затем определяем детерминантную функцию блочной группы А. Второй способ основан на опре­делении полной блочной группы , выраженной через полные

блочные группы , где A ij — элементы блочной группы 2А, под­становке вместо блочных групп их детерминантных функций и проведении соответствующих алгебраических опе­раций.

Вычисление детерминантной функции блочной группы вто­рого ранга 2А или дополнительной блочной группы 2Аd подобно рас­чету определителя матриц проводимостей или сопротивлений модуль-схемы. Поясним это на примерах.

Пример 1. Найти определитель матрицы узловых проводи­мостей модуль-схемы (рис. 2, а), модуль-граф Г которой показан на рис. 2, б, а его скелет Г0 — на рис. 2, в.

Рис. 2.

Дополнительная блочная группа Аd0 скелета Г0 равна

следовательно, блочная группа 2А графа Г запишется в виде

(а)

Если известна структура многополюсников (четырехполюс­ников) рассматриваемой схемы, то определитель матрицы прово­димостей этой схемы можно рассчитать первым методом, приравнивая 2А к ее замещающей блочной группе А 2А.

Пусть, например (для упрощения расчетов), все модули имеют одинаковую структуру (рис. 3, а).

Рис. 3.

Графы отдельных модулей графа Г показаны на рис. 3, б (одинаковые обозначения ребер этих графов недопустимы). Блочные группы подграфов запи­шем в виде

Подставляя блочные группы подграфов в выражение (а), для блочной группы 2А имеем

Таким образом, определитель матрицы проводимостей модуль-схемы равен

Если адмитансы соответствующих ветвей всех многополюс­ников равны друг другу, т. е.

у1= у4 = у7, у2 = у5 = у8, у3 = у6 = у9,

то определитель схемы будет иметь вид

Замечания. Можно заметить, что для данной схемы проще найти определитель матрицы контурных сопротивлений схемы, так как дополнительная блочная группа равна

(б)

а дополнительные блочные группы отдельных подграфов

Ad1= 1, Ad2 = 1, Ad3 = 1,

Ad1b = [2 3], Ad2a=[4 6], Ad3a =[7 9].

Таким образом,

∆d= (z2 + z3) (z7 + z9 + z4 + z6) + (z4 + z6) (z7 + z9).

Если

z1= z4 = z7, z2 = z5 = z8, z3 = z6 = z9,

то

∆d = (z1 + z3) (z1 + 2z2 + 3z3).

Полученные результаты можно проверить с помощью фор­мулы

либо

Если структура модулей интереса не представляет, то необходилю рассчитать полную блочную группу модуль-графа схемы. С этой целью для ранее найденной блочной группы 2А [см. (а)] построим таблицу порядков

Так как таблица не содержит одинаковых столбцов, то полная блочная группа равна

Введем следующие обозначения:

— определитель матрицы проводимостей многополюс­ника W1;

—определитель матрицы проводимостей многополюс­ника W2;

—определитель матрицы проводимостей многополюсника W3;

— определитель матрицы проводимостей многополюсника W1 с закороченным путем b1 (замкнутого на выходе);

— определитель матрицы проводимостей многополюс­ника W2 с закороченным путем а2 (короткое замы­кание входа);

— определитель матрицы проводимостей мпогополюсника W3 с закороченным путем a3 (короткое замы­кание входа).

При этом определитель матрицы проводимостей рассматри­ваемой модуль-схемы равен

∆ = ∆1b∆2∆3а + ∆1b∆2а∆3 + ∆1∆2а∆3а. (11)

Так как дополнительная блочная группа 2Ad графа Г [выражение (б) строится аналогично блочной группы 2А [выражение (а)], то определитель матрицы сопротивлений модуль-схемы запишем в виде

∆d = ∆ d 1b∆ d 2∆ d 3а + ∆ d 1b∆ d 2а∆ d 3 +∆d 1∆ d 2а∆ d 3а. (12)

Пример 2. Рассчитать определитель ∆ матрицы проводимо­стей модуль-схемы (рис. 4, а). Модуль-граф Г этой схемы показан на рис. 4, б, а его скелет Г0 (сплошные линии) — на рис. 4. в.

Рис. 4.

Расчет выполним без учета структуры отдельных многополюсни­ков схемы.

Дополнительная блочная группа ∆ d 0 скелета Г0 равна

а блочная группа 2А графа Г

(а)

Таблица порядков Р имеет следующий вид:

В таблице имеются два одинаковых столбца (обозначенные внизу X), поэтому следует определить дефект суммы столбцов блочной группы

Для этого блоки Г1 и Г2 будем считать трехполюсниками (так как они инцидентны остальным модулям только в трех верши­нах) и в скелете Г0 (рис. 4. в) добавим ребра d1 и d2 (пунктир). Ребра b1, с1 и di образуют замещающий граф (полный) для модуля Г1, а ребра а2, с2 и d2 — замещающий граф (полный) для модуля Г'2. Следовательно,

и далее

где и т. д., а дендритные веса имеют вид

.

Подставив эти выражения в (а) и выполнив необходимые операции, получим