Дискретно-непрерывная математика (стр. 56 )

Таким образом,

Теперь можно написать следующую формулу для коэффициента передачи:

, (28)

причем

. (29)

Выражение (28) содержит четыре разные величины, т. е. на одну меньше, чем предыдущие формулы. Кроме того, согласно формуле (29), это выражение характерно тем, что обе функции в числителе не имеют общих слагаемых.

Числитель в выражении (28) назовем функцией совпадения и обозначим

(30)

Легко показать, что

(31)

а также

(32)

Поэтому можно написать другую формулу для функции совпа­дения:

(33)

Из табл. 2 получаем

(34)

Таким образом, блочная группа состоит из всех столбцов, входящих в выражение

,

и не содержит других столбцов. Отсюда следует, что функцию совпадения можно также найти, рассчитав конъюнкцию

и определив знаки ее отдельных слагаемых.

Заметим, что столбцы блочной группы

представляют собой деревья, которые соединяют пары вершин

({α, μ} и {β, ν}) или ({α, ν} и {β, μ}) (упрощенно показано на рис. 12).

Рис. 12. Упрощенный рисунок 2-деревьев — изображе­ний столбцов блочной группы .

Столбцы блочной группы

представляют собой 2-деревья, соединяющие пары вершин

{α, μ} и {β, μ };

столбцы блочной группы

—2-деревья, соединяющие пары вершин

{α, ν } и {β, μ }

(упрощенно показано на рис. 13).

Рис. 13. Упрощенный рисунок 2-деревьев — изоб­ражений столбцов блочных групп, записанных под рисунком.

Рассматривая в графе Г пути, соответствующие определен­ным столбцам блочной группы

,

можно определить знаки их детерминантных функций. Эти знаки зависят от направления напряжений Е и U (рис. 11).

Выражая коэффициент передачи четырехполюсника Кас с по­мощью функции совпадения, получим

(35)

Для определения знаков детерминантных функций эта формула требует расчета только двух величин Аа и Ас и их конъюнкции. Сравнивая выражения (25) и (35), получаем

(36)

Легко убедиться, что приведенные выше формулы для коэф­фициента передачи схемы также справедливы для дополнительных блочных групп Ad графа схемы, если положить

,

а также

(37)

причем

Аdа = [а] Аd и т. д.

Заметим также, что

(38)

Для расчета коэффициента передачи напряжения модуль-схемы можно воспользоваться любой из формул, однако самая удобная из них — формула (35). Проиллюстрируем это на примерах.

Пример 7. Рассчитать коэффициент передачи напряжения K12 (риc. 14, а), модуль-граф Г которой показан на рис. 14, б, а скелет Г0 графа Г (сплошные линии) — на рис. 14, в.

Рис. 14.

В этой схеме входной импеданс Z1 включен в модуль (многополюсник) W1. Блочная группа 2А графа Г равна

Чтобы рассчитать K12 = Ka1а4 по формуле (25)

,

необходимо вычислить блочные группы

где d1, d2, d3 — пути, показанные на рис. 14, в штриховыми линиями (можно также выбрать другие пути или использовать пути, представляемые ребрами скелета Г0), а потом преобразо­вать эти блочные группы в полные блочные группы.

Как видно, этот способ расчета передачи довольно сложен, поэтому Ka1a4 рассчитаем с помощью функции совпадения по формуле (35)

(а)

Рассчитаем конъюнкцию

Для этого используем таблицы порядков обоих блочных групп. Очевидно, что конъюнкция будет ненулевой только для тех столбцов блочных групп, которые имеют одинаковые столбцы в таблицах порядков. Определим конъюнкцию таблиц порядков

из которой следует

Так как это произведение не имеет дефекта произведения, то, согласно формуле (а) для Ka1a4 рассматриваемой схемы, получаем

(39)

Так как модуль Г4 графа Г имеет две вершины, то детерминантная функция одновременно служит функцией совпадения двухполюсника нагрузки Z0

Коэффициент передачи Ka1a4 рассматриваемой схемы можно записать в виде

(40)

Эту формулу легко обобщить на случай цепной схемы с п-модулями

(41)

или

(42)

Это означает, что функция совпадения цепной схемы с п-модулями равна произведению функций совпадения всех отдельных четырехполюсников схемы и двухполюсника нагрузки. Выраже­ния (41) и (42) справедливы и для дополнитель­ных блочных групп Ad.

Пример 8. Рассчитать функцию совпадения цепной схемы (рис. 15, а), состоящей из четырех четырехполюсников, графы которых показаны на рис. 15, б.

Рис. 15.

Рассчитаем функции совпадения отдельных четырехполюс­ников:

Согласно формуле (42), функцию совпадения данной схемы запишем в виде

Пример 9. Рассчитать коэффициент передачи напряжения модуль- схемы (рис. 16, а).

Рис. 16.

Для упрощения расчетов включим входной импеданс Z1 в модуль (многополюсник) W1. Модуль-граф Г этой схемы изображен на рис. 16, б, а его скелет Г0 — на рис. 16, в (сплошные линии).

Дополнительная блочная группа Аd0 скелета Г0 равна

(а)

Для упрощения записи на основе рассчитанной блочной группы Аd0 построим таблицу порядков блочной группы 2А графа Г

а также таблицы порядков блочных групп 2Аа1 = [а1] ↓ [2А] и 2Аа4 = [а4] ↓ [2А]:

(б)

В таблицах и одинаковые столбцы обозначаем X1, Х2, Х3, Х4, Х5. Эти столбцы заменим соответствующими столбца­ми блочных групп 2Aa1 и 2Aa4 и напишем конъюнкцию