Дискретно-непрерывная математика (стр. 62 )

9.4.2. Анализ электрических схем методом циклов

Этот метод служит для расчета распределения тока в анализи­руемой электрической схеме, содержащей источники напряжения. Он основывается на определении всех элементарных циклов в графе рассматриваемой схемы, содержащих ребро, представляю­щее ветвь питания схемы, и ребро αk, представляющее ветвь, в ко­торой определяется значение тока Ik.

Число ребер wt каждого из этих циклов не должно быть больше числа v вершин графа.

Выражение для тока Ik имеет вид

(16)

где Ik — ток в ветви схемы, представленной ребром αk в графе схемы; Е — э. д. с. источника напряжения; А — блочная группа графа схемы; р ≤ (2М — 1) — количество элементарных циклов, содержащих wt ≤ v ребер, среди них — ребро, представ­ляющее ветвь с источником Е, а также ребро αk; М — цикломатическое число графа; αti — ребро элементарного цикла t; Ptr — блочная группа вершины графа μr, не принадлежащей циклу t (блочная группа вершины μr графа является одно­строчной блочной группой, элементы которой — обозначе­ния всех инцидентных ребер с вершиной μr и не замкнутых в этой вершине); v — количество вершин графа анализируемой схемы; Y — множество проводимостей всех ветвей схемы.

Знаки отдельных слагаемых суммы (16) определяем сле­дующим образом: если в цикле t направления Е и Ik одинаковы, то слагаемое t суммы имеет знак плюс, в противном случае — знак минус.

Если в схеме много источников напряжения, то применяем принцип суперпозиции токов.

Элементарные циклы в планарном графе создаем путем сум­мирования блочных групп независимых циклов во всевозмож­ных комбинациях (блочная группа цикла — однострочная блочная группа, эле­ментами которой являются обозначения всех ребер этого цикла.). При этом опускаем суммы блочных групп, логическое произведение которых равно нулю.

В результате этого суммирования получаем не больше чем

(2М — 1) блочных групп вместе с М блочными группами независимых циклов (М — цикломатическое число графа). Из най­денного множества блочных групп элементарных циклов выбираем в формулу (16) все блочные группы At, удовле­творяющие условию

(17)

где αЕ — обозначение ребра графа, представляющего ветвь источ­ника Е.

Для иллюстрации изложенного метода расчета токов ветвей в электрических схемах рассмотрим два примера.

Пример 3. Рассчитать ток I5 в ветви 5 электрической схемы, граф которой с источником э. д. с. E1 и током I5 приведен на рис. 13.

Рис. 13.

Определим блочные группы элементарных независимых циклов графа

А1 = [1 2 3],

А2 = [3 4 5],

А3= [5 6 7],

а затем суммы этих блочных групп, опуская суммы, не содер­жащие ребра 1 и 5. В данном примере получим только одну сблочную группу

А1 + А2 = [1 2 4 51,

так как

Блочная группа A1 + A2 представляет элементарный цикл.

Согласно формуле (16), имеем

так как цикл, составленный из ребер 1, 2, 4, 5, не содержит вер­шины графа, которой инцидентны ребра 6 и 7. В приведенном выражении А обозначает блочную группу графа.

Пример 4. Рассчитать І7 в ветви 7 электрической схемы, граф которой с источниками напряжения E1, Е2, . . ., Е6 и током І7 представлены на рис. 14.

Рис. 14.

Определим блочную группу независимых элементарных цик­лов графа

А1 = [1 2 4 5 7 8],

А2 = [2 3 5 6 8 9].

Образуем сумму

А1 + А2 = [1 3 4 6 7 9], A1∩А2 ≠ 0.

На основании формулы (16) и принципа суперпозиции получим

так как

а блочная группа А2 не содержит элемента 7.

10. Синтез структур средствами блочных групп и модуль-графами

Существует множество методов синтеза линейных пассивных электрических цепей. Большинство их названий связывают с фамилиями их создателей. Иногда эти методы отличаются оригиналь­ностью и показывают творческую мысль авторов. Однако у них есть один основной недостаток. Как правило, это рецептурные методы, требующие различного подхода к каждой конкретной проблеме синтеза. Эти методы накладывают резкие ограничения на структуру синтезируемой схемы, а также на величины и род используемых элементов. Например, они ограничивают проблему синтеза схемами лестничной или мостовой структуры, четырех­полюсником в виде перекрытого или двойного Т-образного моста и т. д. Такие большие ограничения не позволяют выделить среди этих схем лучшую. Конструктор принимает решение, но может оказаться, что такое решение не существует вообще.

Отсутствие в настоящее время метода, решающего проблему синтеза электрических цепей каким-то общим методом, можно объяснить следующими причинами:

1. Большой сложностью расчета, связанной с определением множества схем, удовлетворяющих всем условиям синтеза.

2. Отсутствием простого и одновременно достаточно общего расчетного алгоритма.

3. Отсутствием достаточно просто сформулированных условий реализации схемы.

По мере развития вычислительной техники трудности расчета можно полностью преодолеть, нужен только соответствующий расчетный алгоритм, хорошо приспособленный к технике машин­ного расчета и учитывающий условия физической реализации схем.

Таким алгоритмом могла бы быть алгебра блочных групп, которая непосредственно связы­вает геометрические свойства графа цепи с расчетным методом. Преимущество алгебры блочных групп заключается в том, что она позволяет алгебраическим методом записывать структуру схемы, а также дает простые связи всех изменений топологии схемы с операциями над блочными группами. По-видимому, это свойство представляет собой одно из основных преимуществ использования алгебры блочных групп для синтеза схем.

В настоящем разделе описано использование алгебры блочных групп для синтеза пассивных двух - и четырехполюсников. Напомним, что под термином «синтез» нужно понимать совокуп­ность операций, необходимых для определения параметров элек­трической цепи или множества цепей, выполняющих поставлен­ные требования. Поэтому синтез представляет собой понятие, противоположное понятию анализа, при котором имеется задан­ный объект, подлежащий анализу, т. е. изучению его свойств. Синтез в принципе должен быть инженерным методом, в котором проектировщик стремится к получению возможно лучшего решения.

Первой работой, посвященной проблеме синтеза электриче­ских цепей, была работа Вильгельма Кауэра «Способ реализации двухполюсника с заданным импедансом», опубликованная им в 1926 г.

В данном разделе описана методика синтеза двухполюсника, основанная на разложении функции импеданса в цепную дробь. Следует обратить внимание на тот факт, что она была опублико­вана ровно через 100 лет после работы Ома, считающейся первой работой в области теоретической электротехники. В качестве одной из первых работ в области синтеза нужно также отметить и работу Отто Вруне (1931 г.). В этой работе автор представил метод синтеза RLC-двухполюсника, позволяющий реализовать произвольную конечную положительную действительную функ­цию импеданса. Кроме Кауэра и Вруне значительные результаты в области методов синтеза были получены Баттервортом (1930г.), Воде (1934 г.), Дарлингтоном (1939 г.), Bottom, Даффином (1949 г.), Гиллемином (1949 г.), Мията (1952 г.), Озаки (1953 г.), Реза (1954 г.) и другими. Работы этих авторов служат своеобраз­ными вехами на пути развития методов синтеза линейных элек­трических цепей.

Представленный в данном разделе метод синтеза электрических цепей опирается на алгебру блочных групп, служит общим методом, не накладывающим никаких принципиальных ограниче­ний на структуру схемы, и требует применения ЭВМ. Метод в представленном здесь виде не завершен до конца и требует дальнейших исследований для различных конкретных приложе­ний.

10.1. Синтез структур, представленных пассивными двухполюсниками

Метод блочных групп позволяет решать проблему синтеза электрической цепи в общем виде без каких-либо ограничений, накладываемых на структуру проектируемой цепи.

Задачу синтеза электрической цепи можно разбить па два этапа:

1) топологический синтез графа цепи,

2) расчет величин отдельных элементов схемы.

Под термином «топологический синтез графа» понимаем сово­купность операций, связанных с определением класса структур графов, реализующих поставленную проблему синтеза. Так как определение этих структур связано с определением соответ­ствующих изображений блочных групп, то при решении этой проблемы важны условия существования геометрического изо­бражения. Напомним эти условия:

1) блочная группа А должна иметь разложение на простые множители

А = P1P2 . . . Рт; (1)

2) любой элемент может присутствовать не более чем в двух числах блочных группах Pі, Pj произведения (1).

Кроме того, должны выполняться следующие дополнительные условия:

3) Pі≠ Pj ; i, j = 1, 2, . . ., т (i≠j);