Дискретно-непрерывная математика (стр. 63 )

4) Рі≠∑Рk; k = 1,2,...,т {k≠i), (2)

обеспечивающие А≠0.

Рассмотрим пассивный RLC-двухполюсник (рис. 1), в кото­ром выделен импеданс zα источника.

Рис. 1. Пассив­ный RLC-двухполюс­ник с вынесенным импедансом zα.

С помощью теории блочных групп входной импеданс рассматриваемого двухполюсника можно выразить следующим образом

(3)

где А — блочная группа, изображением которой служит граф двухполюсника.

В дальнейшем будем пользоваться второй из приведенных выше формул, которая выражает входной импеданс двухполюсника через импедансы его элементов.

Рассмотрим наиболее общий случай, когда в каждой ветви двухполюсника присутствуют последовательно соединенные рези­стор, индуктивность и конденсатор. В этом случае импеданс каж­дой ветви выражается формулой

zi = sLі + Rі+ s-1Сі-1. (4)

Входной импеданс синтезируемого двухполюсника представляет собой положительную вещественную функцию

Умножая числитель и знаменатель этой функции на множитель s-l, где

(Е (х) обозначает целую часть х), приводим нашу функцию к сле­дующему виду:

(5)

Некоторые коэффициенты aі, bj полученной функции могут быть равны нулю.

Обозначим: b — число ветвей цепи, w — число узлов цепи, т — число независимых контуров цепи (цикломатическое число цепи).

Величины b, w и т связаны зависимостью

b — w + 1 = т.

С другой стороны, из теории блочных групп известно, что степень равна цикломатическому числу т графа, служащего изображением блочной групп А. Отсюда следует, что степень полинома Q (s) должна быть равна цикломатическому числу, т. е. т =п, и, кроме того,

b —w + 1 = п. (6)

Так как для определения 3b неизвестных можем располагать

4п + 4 уравнениями, то должно выполняться следующее нера­венство:

3b ≥4п + 4. (7)

Если неизвестных больше, чем уравнений, то можно задаться значениями параметров некоторых элементов цепи. Формулы (6) и (7) дают оценку числа узлов цепи, т. е.

(8)

Так как количество множителей в произведении (1) равно w— 1, то

(9)

В связи с этим схема будет содержать следующее число ветвей:

(10)

Приведем операции, необходимые для синтеза двухполюсника.

1. Положим т = Е(п + 4)/3 + 1 и рассмотрим множество ветвей

В = {1, 2, ..., b }; ,

на основе которого строим произведения однострочных блочных групп

А = Р1Р2 ... Рт

с учетом условий реализуемости (1) и (2) и выбирая по край­ней мере двухэлементные блочные группы Pі. Например,

А = [12] [2 3] [3 4 5] и т. д.

Выполнив умножение, получаем всевозможные блочные группы, а значит, и всевозможные графы, соответствующие слу­чаю

k = 1.

2. Найдем все дополнительные блочные группы

A1d A2d ...,Aid ...,Ard.

3. Подсчитаем обратные алгебраические производные

4. Вычислим детерминантные функции

Приравняем коэффициенты рациональных функций

и в результате получим систему нелинейных уравнений

(11)

Эту систему нелинейных уравнений можно решить с помощью ЭВМ, например, методом итераций. Нетрудно заметить, что функции fk и φk будут суммами следующих произведений:

. (12)

Для первой итерации, например, можно принять

=1 ом, = 1 гн, = 1 ф, і = 1,2, ..., r (13)

и исследовать разность

f0v – b0v = ε0 v; v =-( n + l), ...,(n + l),

φ0v - a0v = δ0 v; v= -n, ...,n. (14)

В результате процесса итерации получим

; ; ; n≥1. (15)

Если при аппроксимации были нормированы шкалы частот и импедансов, то для первой итерации вполне приемлемы значе­ния (13).

В результате решения приведенных уравнений получим значе­ния элементов цепи, соответствующие блочным группам A1, A2, …., Ai, ...

Можно заметить, что число неизвестных в системе (11) боль­ше, чем число уравнений, на величину

(16)

В связи с этим можно задаться значениями δ элементов или при­нять их равными нулю.

6. В случае необходимости повторяем весь цикл расчета для

Очевидно, что в этих случаях число элементов будет больше, чем для k = 0. Следует подчеркнуть, что в соответствии с изложенными ранее способами идентификации слабосвязных структур при расчетах необходимо сразу же исключить все неправильные структуры.

Ниже дана упрощенная блок-схема программы синтеза двухполюсника приведенным методом.

10.2. Синтез пассивного RLC-четырехполюсника

10.2.1. Предварительные сведения

Пусть дан пассивный RLC-четырехполюсник (рис. 2).

Рис. 2. Пассивный RLC-четырехполюсник.

Харак­теристики четырехполюсника обычно определяются с помощью передаточных функций или затухания

В методе блочных групп передача напряжения Ки, тока Kі, передача Ks, а также рабочее затухание Гs выражаются в следую­щем виде:

(18)

где А — блочная группа, геометрическим изображением кото­рой служит граф цепи.

Рассмотрим функцию пассивного четырехполюсника (из условий физической реализации четырехполюсника следует, что знаменатель функции Ks представляет собой полином Гурвица, а числи­тель — произвольный полином комплексной частоты

s = σ + jω с веще­ственными коэффициентами.)

(19)

Умножая числитель и знаменатель этой функции на s-1, получим

(20)

Выражение (20) будем называть стандартной передачей. Всегда справедливы следующие условия:

Кроме того, допустим, что

d0 = d1 = . . . = dυ-1= 0; dυ ≠ 0. (21)

Докажем следующую вспомогательную теорему.

Теорема 1. Граф, реализующий заданную передачу, степень числителя которой равна т, а знаменателя п, имеет цикломатическое число М не меньшее, чем

(22)

Доказательство. Так как в выражение стандартной передачи всегда можно ввести дополнительные слагаемые с коэффициентами, равными нулю, то должны выполняться следующие неравенства:

п — l ≥ — l, п — l ≥ l — υ (из выражения для числителя),