Дискретно-непрерывная математика (стр. 11 )

При выводе уравнений сечений необходимо дугу Е источника напряжения e(t) и разомкнутую дугу Q ввести в дерево, а также пред­ставить транзисторы g-параметрами и резисторы— проводимостями. Выбрав дерево, как показано на рис. 3.5, запишем матрицу сечений с разбиением на блоки:

Как видно, субматрицы ПEJ и ПYJ отсутствуют, так как граф не содержит дуг независимых источников тока (j-дуг). Матрица проводимостей дуг полюсных графов компонентов YД, входящая в компонентное уравнение iY =YДиY, записывается в виде:

Матрично-векторные параметры уравнения сечений

определяется формулами:

Перемножив соответствующие матрицы, получим:

Таким образом, имеем уравнения сечений в матричной форме:

где

Рис. 3.5. Граф транзисторной схемы, используемый для формирования уравнений сечений.

Матрицы Y и Y′ можно также записать по приведен­ным ранее правилам. Напри­мер, проводимость G2 записы­вается на пересечении строк и столбцов соответствующих сечениям R1 и 1", так как дуга R2 инцидентна этим се­чениям, причем симметрично от главной диагонали прово­димость G2 записывается со знаком минус вследствие про­тивоположности направлений сечений R1 и 1' относитель­но дуги R2. Взаимная прово­димость g′′12э дуги 1" транзистора Т2 записывается на пересечении второй строки с вторым и третьим столбцами, так как дуга 1" инцидентна сечению 1", а дуга 2" — сечениям 1" и Q. Поскольку направление дуги 2" совпадает с инцидентными ей сечениями 1" и Q, то g′′12э везде вписывается со знаком плюс. Аналогично вписываются в матрицу проводимости и другие параметры компонентов. Собственная проводимость g′11б дуги 1' транзистора T1 не вошла в матицы Y и Y', так как эта дуга не ин­цидентна y-сечениям.

Тройные матричные произведения удобно также получать сум­мированием строк и столбцов матрицы Y Д. Так как в выражении

Y = ПYYYДПtYY ненулевые элементы матрицы ПYY равны ±1, то умножение YД на ПYY слева соответствует алгебраическому сумми­рованию строк, а умножение на ПtYY справа — алгебраическому суммированию столбцов матрицы YД. Какие именно строки и столб­цы и с каким знаком суммируются указывают ненулевые элементы соответствующих строк матрицы ПYY. При получении матрицы

Y' = ПYYYДПtЕY операции над строками матрицы YД определя­ются матрицей ПYY, а операции над столбцами — матрицей ПЕY.

В рассматриваемом примере для получения первой строки про­изведения ПYYY необходимо из первой строки матрицы Yд вы­честь пятую и прибавить к ней седьмую, восьмую и девятую строки. Вычитая восьмую строку из суммы второй, четвертой и пятой, по­лучаем вторую строку произведения ПYYYд. Наконец, сумма третьей, восьмой и девятой строк дает третью строку произведения ПYYYд. В результате имеем:

Выполнив такие же операции над столбцами этой матрицы, по­лучим матрицу Y. Для определения матрицы Y' необходимо из пятого столбца произведения ПYYYд вычесть шестой и седьмой столбцы и результат записать как единственный (в данном случае) столбец матрицы Y'.

Искомое напряжение иq можно определить из решения уравне­ния сечений, например по правилу Крамера :

где ∆ — определитель матрицы Y; ∆13 и ∆25 — алгебраические дополнения (индексы алгебраических дополнений соответствуют естественной порядковой нумерации строк и столбцов матрицы Y).

При формировании уравнений контуров фундаментальное дерево должно, как и ранее, включать дугу Е источника напряжения, но разомкнутую дугу Q целесообразно представить как j-дугу и оставить ее в дополнении. Отвечающее этим требованиям дерево и оп­ределяемая им совокупность независимых контуров показаны на рис. 3.6.

Рис.3.6. Граф транзисторной схемы, используемый для формирования уравнений контуров.

Матрица контуров записывается в виде:

Дуги полюсных графов всех компонентов должны быть z-дугами, для этого транзисторы представляются r-параметрами, а резисторы — сопротивлениями. Матрица ZД входящая в компонент­ное уравнение uZ = ZДiZ, запишется следующим образом:

Матрично-векторные параметры уравнения контуров

определяются формулами:

(так как j = 0). Матрицу Z получим путем алгебраических операций над строками и столбцами матрицы ZД, которые определяются ненулевыми элементами строк матрицы Pzz:

Таким образом, уравнение контуров получаем в виде:

Определив из этого уравнения вектор токов хорд

искомое напряжение иQ найдем по формуле для

Так как

Матрица Z' получается из ZД суммированием ее строк в соот­ветствии с PJZ и столбцов в соответствии с Pzz, т. е.

На основании полученной матрицы Z' находим:

3.7. Электромеханическая система

Рассмотрим в качестве еще одного примера электромеханическую систему (рис. 3.7, а), со­стоящую из двигателя постоянного тока, трех упругих валов и двух маховиков. Граф системы показан на рис. 3.7, б, где 1— дуга при­ложенного напряжения (е-дуга); 2, 3 — дуги полюсного графа двигателя; 4,6,8 — дуги валов; 5,7 — дуги маховиков и 9 — дуга момента нагрузки μ9(j-дуга).

Рис. 3.7. Электромеханическая система (а) и ее граф (б)

Пусть требуется сформировать математическую модель системы в однородной системе координат так, чтобы переменными в уравне­ниях были продольные величины φ3, φ4, φ6, φ8 (углы скручивания валов, в том числе и вала двигателя φ 3). Естественно исходить из системы сечений, стремясь включить дуги валов и выходную дугу двигателя в дерево. Так как граф несвязный, то деревья выби­раем в каждом из двух его компонентов связности, причем, наряду с дугами 3, 4, 6, 8, включаем в лес дугу 1 источника напряжения. В соответствии с выбранным лесом матрица сечений имеет вид:

Так как при формировании уравнений сечений полюсные графы компонентов должны быть представлены как у-дуги, то полюсные уравнения двигателя необходимо разрешить относительно поперечных переменных тока i2 и момента μ2, а в качестве продоль­ных переменных принять напряжение и2 и угол поворота φ3. Пре­небрегая индуктивностью цепи якоря (L = 0), получаем (р-оператор дифференцирования):

где R — сопротивление цепи якоря; В3 и J3 — соответственно со­противление трения в двигателе и момент инерции якоря.

Полюсные уравнения валов (пренебрегая моментами инерции) и маховиков имеют вид:

где Ki — упругости валов; В i и Jj — соответственно сопротивле­ния трения и моменты инерции маховиков.