Дискретно-непрерывная математика (стр. 65 )

Из неравенств (33а) и (34а) окончательно следует, что для <

2XL + XR ≥+1 для υ = 0,

2XL + XR ≥ для υ > 0. (36)

Рассмотрим случай =. При этом

п ≥ Мах{ — l +1, l — υ + 1, — l, l},

и можно написать

а) при υ=0

откуда

n — l = 1, 2, 3, . . .;

б) при υ > 0

откуда

n — l = 0, 1, 2, . . . .

Для определения разности п — l имеем условия, аналогич­ные случаю <. Учитывая их в соотношении (32), получим

а также

Последние неравенства также приводят к формулам (36), доказанным ранее для <.

Из теоремы 2 вытекают следствия.

Следствие 1. Если в пассивном RLC-четырехполюснике число резисторов равно числу индуктивностей, т. е. XR= XL, то

(37)

Следствие 2. Если в пассивном RLC-четырехполюснике, нагру­женном активными сопротивлениями Rα, Rβ, последовательно с каждой индуктивностью включен резистор, т. е. если

XR = XL + 2, то

(38)

Следствие 3. Если принять, что каждый резистор, за исклю­чением Rα, Rβ, включен последовательно с индуктивностью, т. е. XR = XL + 2, то число индуктивностей минимально, если все индуктивности содержатся в одном дополнении дерева с рези­сторами Rα, Rβ.

Выражение (35) имеет знак равенства, если в выражениях (26) существует такое слагаемое, в котором сгруппированы все индуктивности и резисторы, что имеет место тогда, когда все индуктивности и резисторы содержатся в одном дополнении дерева с резисторами Rα, Rβ. Следует подчеркнуть, что только в этом случае выполняется равенство и в выражениях (33а) и (34а), а значит, и достигаются минимальные значения XL и X R, напри­мер при XR =XL+ 2.

Пример 1. Передачу

степень числителя которой равна 9 ( = 9), можно реализовать при помощи схемы (рис. 3, а).

Рис. 3. а) пример четырехполюсника с минимальным числом индуктивностей; б) противодерево, не содержащее катушек индуктивности.

Эта цепь содержит минимальное число индуктивностей, так как все они содержатся в дополнении дерева с резисторами Rα, Rβ.

Действительно, при исключении ветвей, содержащих индук­тивности и резисторы Rα, Rβ, схема будет иметь структуру (рис. 3, б), т. е. представляет собой дерево. Исключенные ветви служат хордами дерева (рис. 3, б) и, следовательно, образуют дополнение дерева с элементами Rα, Rβ .

Рассмотренное свойство, сформулированное в следствии 3, может быть использовано при синтезе RLC-четырехполюсника с помощью ЭВМ. Согласно этому свойству, элементы R, L можно размещать в одном из выбранных дополнений деревьев, а все остальные ветви четырехполюсника оставить для емкостных эле­ментов. Такой способ размещения элементов в графе легко запро­граммировать для ЭВМ.

10.2.2. Определение знаков слагаемых функции совпадения

Знаки функции совпадения

при анализе схем методом блочных групп без вычислительной машины определяются простым рассмотрением ориентации вет­вей α и β в графе. Понятно, что вычислительная машина непосред­ственно не может определить ориентации ветвей в графе. Поэтому при разработке алгоритма синтеза четырехполюсников с приме­нением ЭВМ важно найти чисто алгебраический метод нахожде­ния знаков слагаемых функции совпадения. Такой метод можно получить следующим образом. Слагаемые функции совпадения, имеющие знак плюс, соответствуют контурам, показанным на рис. 4, а, а слагаемые со знаком минус — контурам, показанным на рис. 4, б.

Рис. 4. Иллюстрация алгебраического метода определения знаков функ­ции совпадения.

Короткое замыкание узлов μ и ν в этих контурах приводит к графам (рис. 4, в и г). Из рис. 4 видно, что в слу­чае б, соответствующем знаку плюс, существует контур, содержа­щий ветви α и β, в то время как в случае г такого контура нет. Это служит основой алгебраического метода определения знаков функции совпадения.

Допустим, что блочная группа А равна произведению одно­строчных простых блочных групп

А = Р1Р2 .. . Рт.

Введем некоторые определения.

Определение 1. Простые блочные группы Рi, Pj будем называть сгруппированными блочными группами, если они содержат по крайней мере один одинаковый элемент, т. е.

Рi, Pj сгруппированная . (39)

Например, однострочные блочные группы

Рi = [1 2 4 7], а также Pj = [3 4 6 8]

будут сгруппированными блочными группами, так как обе эти блочные группы содержат элемент 4.

Если блочные группы Рi, Pj сгруппированы, то пишем Pi↔Pj. Если существует последовательность однострочных блочных групп

P1↔P2↔P3↔…↔Pn-1↔Pn: (40)

соответствующая набору вершин 1, 2, . . ., п в графе, то тогда существует путь, соединяющий вершину 1 с вершиной п.

Если данный граф (мультиграф) служит геометрическим изо­бражением блочной группы, то блочная группа, соответ­ствующая графу, в котором все ветви пути, соединяющего верши­ну μ с вершиной ν, замкнуты, обозначим через A*μv. Получим

А = Р1Р2 . .. Pw-1; A*μv = (Pμ + Pμ1 + Pμ2+...+ Рv) , (41)

где w — число вершин (узлов) графа, а Pμ, Pμ1, Pμ2,...,Рv — однострочные сгруппированные блочные группы, соответ­ствующие вершинам μ, μ1, μ 2, . . ., v, которые принадлежат пути, соединяющему вершину μ с вершиной v, т. е.

Pμ ↔ Pμ1 ↔ Pμ2↔...↔ Рv

Сформулируем следующую теорему.

Теорема 3. Если А — блочная группа, геометрическим изображением которой служит граф четырехполюсника со структурой, показанной на рис. 5, а вершины μ и v инцидентны соответственно элементам α и β (например, α Рμ, β Pv), то столбцы блочной группі

(42)

определяют все слагаемые функции совпадения , которые имеют знак плюс.

Справедливость теоремы 3 непосредственно вытекает из предыдущего рассуждения. Исключение всех ветвей графа, опре­деленных одним из столбцов конъюнкции

приводит к графу с одним циклом (контуром) (рис. 4, а). Такой контур соответствует положительному члену функции совпа­дения.

Метод определения знаков функции совпадения основан на теореме 3 и применим для четырехполюсника со структурой, показанной на рис. 5.