Дискретно-непрерывная математика (стр. 9 )

Действительно, строка матрицы A0, соответствующая некоторой вершине, содержит элементы ±1 в столбцах инцидентных этой вершине дуг, а знак учитывает направление дуги относительно вершины. Произведение строки на вектор ηд дает соответствующее уравнение связи, причем написанное выше уравнение представляет

р — 1 таких уравнений, и все они независимы. Ясно, что замена матрицы A0 матрицей сечений П не нарушает равенства. Поэтому уравнения связей для независимых сечении в матричной форме имеют вид:

Пηд=0

Аналогично уравнение связен для q— р + 1 независимых контуров получим как произведение матрицы контуров Р на вектор продольных переменных ξд = (ξ1, ξ2, .... ξq) , т. е.

Рξд=0

Уравнения связей для поперечных и продольных переменных относительно сечении и контуров образуют совокупность типоло­гических уравнений. Если дуги графа упорядочены так, что сначала следуют ветви фундаментального дерева, а за ними хорды, то в си­стеме сечений и контуров, определяемых этим деревом, топологи­ческие уравнения запишутся следующим образом:

где переменные ветвей дерева отмечены индексом Т, а переменные хорд — индексом N. Выполнив умножение блочных матриц и век­торов, получим

откуда

Полученные coотношения показывают, что поперечные вели­чины дерева выражаются через поперечные величины дополнения, а продольные величины дополнения - через продольные величины дерева. Таким образом, из 2q переменных топологически независи­мыми являются только р — 1 поперечных и q — р + 1 продольных переменных, т. е, всего q величин. Остальные q переменных легко определяются с помощью матрицы π или ρ. Из выражений

следуют важные формулы:

Рассмотрим в качестве примера граф транзисторной схемы (см. рис. 2.5, б), в который введена до­полнительная разомкнутая дуга Q для фиксации напряжения между вершинами b и с (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Граф транзисторной схе­мы с разомкнутой дугой Q, фикси­рующей искомое напряжение.

Системы независимых сечений и контуров определяются выбранным фундаментальным деревом (ветви выде­лены жирными линиями). При этом

Топологические уравнения в выбранной системе координат имеют вид:

Зависимости между переменными выражаются соотношениями:

3. Компонентные уравнения. В зависимости от того, какая пере­менная (поперечная или продольная) дуги выражается ее полюс­ным уравнением через другие переменные, множество дуг полюсных графов компонентой разбивается на у-дуги и z-дуги. Соответ­ственно разбиваются и векторы поперечных и продольных переменных:

Следует обратить внимание на то, что в отличие от векторов ηд и ξд векторы ηХ и ξХ содержат переменные, связанные не со всеми дугами графа, а только с дугами полюсных графов компонентов.

В общем случае следует считать, что поперечные переменные у-дуг и продольные переменные z-дут могут выражаться через лю­бую совокупность переменных. Поэтому компонентные уравнения в матричной форме имеют следующий вид:

Входящие в эти уравнения матрицы определяются на основании полюсных уравнений компонентов рассматриваемой системы. Ком­понентные уравнения можно представить и в неявной форме

где

матрица размера qХ × 2qХ, если под qХ понимать число дуг полюсных графов компонентов.

Независимые источники, характеризуемые заданными попереч­ными υ(t) и продольными ε(t) величинами, относятся соответственно к

j-дугам и е-дугам и представляются уравнениями:

Разомкнутые дуги описываются уравнением η=0. Их можно рассматривать либо как источники с нулевыми значениями попе­речных величии, либо как резистивные у-дуги с нулевой проводи­мостью. Короткозамкнутые дуги описываются уравнением ξ = 0. Их можно рассматривать либо как источники с нулевыми значе­ниями продольных величин, либо как резистивные z-дуги с нуле­вым сопротивлением.

Запишем, например, компонентные уравнения дуг графа рис. 3.2. Пусть, резистивные двухполюсники представлены их сопротивле­ниями R1, R2, R3 и R4, уравнения транзистора Т1 выражены че­рез

g - параметры (дуги 1' и 2'), а уравнения транзистора Т2 — через

h-параметры (дуги 1" и 2"), т. е.

На основе этих соотношений имеем:

Как видно, в рассматриваемом примере матрицы N'д, Y'д, Z'д, М'д оказались нулевыми.

В неявной форме компонентные уравнения представляются мат­рицей:

Дуга Е независимого источника напряжения описывается уравнением uE = e(t), а разомкнутая дута Q, фиксирующая напря­жение между вершинами b и с,— уравнением iQ = 0.

3.3. Уравнения сечений

Если все дуги полюсных графов компо­нентов можно представить как у-дуги, поперечные переменные которых выражаются через продольные переменные, то компонент­ные уравнения упрощаются к виду:

Представим матрицу сечений как П=[ Пy, ПJ], где субматрицы Пy и ПJ соответствуют столбцам у-дуг и задающих источников поперечных величин, т. е. j-дуг (предполагается, что задающие источники продольных величин отсутствуют). Топологическое урав­нение запишется следующим образом:

откуда получаем

Подставив

приходим к уравнениям сечений в матричной форме

или

Здесь

- матрично-векторные параметры математической модели в однородной системе координат (сече­ний). Определив из этого уравнения вектор продольных переменных дерева ξТ, остальные переменные можно найти по формулам

Так как число независимых сечений графа v=p — k, то матричное уравнение сечений соответствует v ска­лярным уравнениям.

Входящие в выражения для Y и J матрицы обычно сильно раз­реженные, поэтому вместо умножения матриц можно воспользо­ваться правилами непосредственной записи матрично-векторных параметров на основе графа системы и полюсных уравнений.

Для вектора J такое правило очень простое и непосредственно следует из выражения J = - Пjυ. Ясно, что k-я компонента век­тора J равна со знаком минус произведению k-й строки матрицы IIj на вектор υ, т. е.

jk = —ПJ(k)υ. А это значит, что она может быть записана как алгебраическая сумма задающих поперечных величин тех источников, дуги которых инцидентны k-му сечению, причем каждая такая величина берется со знаком плюс, если дуга направлена противоположно сечению, и со знаком минус, если на­правления дуги и сечения совпадают.

Правило записи матрицы Y получим, представив входящую в ее выражение матрицу ПY через векторы-столбцы, т. е.

где m=qy означает число у-дуг.

Произведение i-го столбца ПY(i) матрицы Пу на транспонированный j - й столбец (т. е. строку) ПY(j)t равно квадратной матрице υ- го порядка:

Сумма таких матриц, умно­женных на соответствующие скаляры уij (параметры ком­понентов), и дает в результате матрицу системы Y. Очевид­но, уij появится в тех клет­ках матрицы Y, которым соответствуют ненулевые зна­чения приведенной выше мат­рицы. Собственный параметр уij i-й дуги записывается на пересечении строк и столбцов матрицы Y, которые соответ­ствуют инцидентным этой дуге сечениям (со знаком плюс, если относительно данной дуги направления рассматри­ваемых сечений совпадают, и со знаком минус, если эти направления противополож­ны). Взаимный (управляю­щий) параметр уij дуг с номе­рами i и j записывается в матрицу Y на пересечении строк, соответствующиx тем сечениям, которые инцидентны i-й дуге, и столбцов, соответствующих тем сече­ниям, которые инцидентны j - й дуге. При этом знак, с которым впи­сывается уij , зависит от того, как направлены дуги относительно