Дискретно-непрерывная математика (стр. 26 )

А = Р1 (α) Р2 (α) Р3(α) . . . Рп-1(α).

где п — число вершин графа.

Отсюда

= Р2… Рп-1+ Р1Р2… Рп-1.

Так как для однострочных простых чисел P1 и Р2 справедливо, что дР1/дα = дР2/дα = 1, то

=(Р1 + Р2)Р3...Рп-1. (51)

Это означает замыкание ребра α в геометрическом изображении или отключение (или однополюсное отключение) ребра α в обрат­ном геометрическом изображении (тогда п — 1 = т — цикломатическое число графа). Поскольку величина блочной группы не зависит от выбора опорного узла, полученный результат носит общий характер.

Кроме алгебраической производной, сформулируем для блочных групп еще одно понятие (в известном смысле дуальное по отношению к производной) — понятие обратной алгебраиче­ской производной.

Алгебраической обратной производной блочной группы называется блочная группа δА/δα, равная

(52)

( столбцы, содержащие элемент α, опущены.)

Воспользовавшись способом записи блочной группы в виде семейства множеств, можно записать обратную производную как

(52а)

Для обратной алгебраической производной имеют место соот­ношения

(53)

справедливые для произвольных блочных групп А1 и А2, Кроме того,

(53a)

Для одноэлементной блочной группы имеем

(54)

Соотношение алгебраических производной и обратной производ­ной можно записать следующим образом:

(53б)

Алгебраическую обратную будем обозначать как

(55)

Пример 9. Выполним расчет алгебраической обратной производной:

Алгебраическая обратная производная имеет простую геометриче­скую интерпретацию.

Свойство 2. Геометрическое изображение блочной группы представляет собой геометрическое изображение блочной группы А, в котором ребро отсоединенно в одной вершине и замкнуто в петлю. Обратное геометрическое изображение блочной группы представляет собой обратное изображение геометрической блочной группы А с замкнутым ребром α. Правильность этого свойства следует из определений изображения, обратного изображения блочной группы и обратной производной.

Вследствие простых соотношений между алгебраическими дей­ствиями, выраженными через операции производной и обратной производной, и действиями на графе, который является геоме­трической интерпретацией блочной группы, эти операции особенно важны в применениях алгебры блочных групп, например, к анализу систем.

Отметим, что для блочной группы числа А всегда имеет место соотношение

(56)

где α — элемент блочной группы А.

6.6. Детерминантная функция блочной группы

Аналогично с матричным исчислением на множестве блочных групп можно определить различные функции, например детерминантную функцию.

Определение 9. Детерминантной функцией блочной группы А называется функция

(57)

где Z — заданное множество комплексных чисел , т. е. Z. Определение этой функции следующее. Нужно пере­множить комплексные числа, поставленные в соответствие индек­сам столбцов, и просуммировать полученные выражения, соот­ветствующие столбцам.

Эта функция может быть кратко названа определителем или детерминантом блочной группы.

По аналогии с теорией матриц для ее обозначения используем также символ

(58)

Пример 10. Нахождение определителя.

Вычислить определитель блочной группы

по отношению к комплексным числам z1, z2, z3, z4, z5, z6,z7,z8Z.

= z1z3z7 + z2z4z5 + z1z4z8+ z2z3z4.

Раскрытие определителя матрицы немного сложнее, чем раскрытие определителя блочной группы.

Определитель блочной группы имеет следующие свойства:

(A1 = А2) (2=1),

6.7. Функция совпадения блочной группы

Кроме ранее введенных операций сложения и умножения блочных групп, определим еще одну операцию — конъюнкцию.

Определение 10. Конъюнкцией А ∩ В блочных групп А и В называется блочная группа, содержащая общие столбцы блочных групп А и В и не содержащая других столбцов.

Пример 11.

, , А ∩ В=

Определим на множестве блочных групп еще одну функ­цию, важную для применения алгебры блочных групп в теории систем,— функцию совпадения и обозначим

Функция совпадения равна

(59)

При этом, имеется в виду случай А ∩ В≠0.

Формула (59) дает общее определение функции совпадения, однако в прикладном значении этой функции наиболее важна частная форма записи функции совпадения: эта функция относится к блочной группе А, геометрическое обратное изображе­ние которой содержит два ориентированных ребра α и β.

Определение 11. Функцией совпадения

(60)

блочной группы А, обратное геометрическое изображение которой имеет два ориентированных ребра α и β, называется функция, обладающая следующими свойствами:

1) функция (60) — линейная комбинация выражений, имею­щихся в определителях (det (дА/дα) и det (дА /дβ);

Z Z

2) если исключить из обратного изображения ребра, опре­деленные данным выражением, получим цикл, в котором ребра α и β ориентированы согласно или встречно, то слагаемое имеет соответственно коэффициент +1 или —1 (рис. 2).

Рис. 2. Пояснение оп­ределения функции совпа­дения.

Функцию совпадения (60) можно в таком случае записать

когда ребра α и β ориентированы согласно,

когда ребра α и β ориентированы встречно.

(61)

Пример 12. Определить функции совпадения блочной группы А, обратное изображение которой есть граф

изображенный на рис. 3 (α = 1, β = 7).

Рис. 3.

Решение. Блочную группу определим по выраже­нию (13) как произведение простых блочных групп, соответствующих всем независимым контурам обратного изображения.

Имеем

Далее определим алгебраические производные

Столбцы, общие для дА/д1 и дА/д7, взяты в рамки.

При рассмотрении графа на рис. 3 замечаем, что при исключении ребер 5 2 6, 5 3 6, 5 8 3, 5 8 6 граф сводится к графу с одним контуром, в котором ребра α = 1 и β = 7 ориентированы согласно. С другой стороны, при исключении из графа ребер 2 3 4 в полученном контуре ребра 1 и 7 ориентированы встречно.

Поэтому выражения z5z2z6, z5z3z6, z5z8z3, z5z8z6 имеют знак плюс, z2z3z4 — знак минус.

Окончательно получим

= z5z2z6+ z5z3z6+z5z8z3-z2z3z4 .