Дискретно-непрерывная математика (стр. 13 )

или в матричной форме

где ∆—определитель матрицы Y; индексы а и b алгебраических дополнений этой матрицы равны порядковым номерам строк и столб­цов, которые соответствуют сечениям, определяемым входной и вы­ходной дугами. В общем случае а и b могут принимать любые значе­ния, а при расположении этих сечений первыми а = 1 и b = 2.

Полученные уравнения описывают четырехполюсник относи­тельно продольных величин. Они могут быть представлены и отно­сительно поперечных величин. Для этого сложим первое уравнение, умноженное на ∆bb, со вторым, умноженным на —∆ba :

а также сложим первое уравнение, умноженное на ∆ab, со вторым, умноженным на —∆aa:

Множитель в левых частях полученных равенств преобразуется по формуле

где ∆аа,bb — двукратное алгебраическое дополнение. В результате получаем

комбинируя попарно внешние параметры, уравнение четырех­полюсника можно представить шестью различными способами (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Внешние параметры системы с двумя сторонами

Элементы матриц этих уравнений, называемые внешними параметрами четырехполюсника, выражаются через определитель и алгебраические дополнения матрицы Y=ПYYдПtY. Аналогич­ные выражения можно получить и в однородной системе контуров через матрицу Z =PZZДPtZ. Для этого необходимо внешние дуги представить как е-дуги и отнести их к дополнению. Выполнив преобразования, дуальные приведенным выше, получим требуемые выражения (табл. 3.1).

3.10. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. 3апишите топологические уравнения для графа (см. рис.3.2) относительно сечений и контуров, определяемых фундаментальным деревом Т={Е,1′′, R2,Q}.

2. Запишите компонентные уравнения дуг, входящих в граф (см. рис.3.2) при условии, что:

а) уравнения транзисторов представлены через h-параметры, а резистивные двухполюсники — через сопротивления;

б) уравнения транзисторов представлены через r-параметры, а резистивные двухполюсники —через проводимости.

3. Пользуясь дуальностью математических моделей в однородных системах координат, сформулируйте и выведите правило записи матрицы Z непосредственно из рассмотрения графа и полюсных уравнений z-дуг.

4. Покажите, что фундаментальное дерево всегда может быть построено так, что в него войдут все е-дуги, и оно не будет содержать j-дуг, т. е. все е-дуги являются ветвями дерева, а j-дуги — хордами. Что означала бы невозможность такого построения?

5. Сформулируйте и докажите правила записи матриц Y' и Z', преобразующих независимые источники одного типа в другой.

6. Воспользовавшись свойствами матрицы инцидентности А0, сформули­руйте и докажите правило записи матрично-векторных параметром Y и J уравнения Yξ = J в канонической системе сечений.

7. Сформулируйте правило записи матрично-векторных параметров Z и Е уравнения Zη = Е в системе ячеек, дуальное правилу записи Y и J, полученному в задаче 6.

8. Покажите, что матрицы Y и Z в уравнениях сечений и контуров для систем, состоящих из двухполюсных компонентов, всегда симметричны.

9. Покажите, что для систем, состоящих из двухполюсников, элементы матриц Y и Z в канонических системах координат (узловые и контурные уравнения) характеризуются следующими свойствами:

а) диагональные элементы положительны и каждый из них равен сумме параметров двухполюсников, дуги которых инцидентны соответствующему узлу (или ячейке);

б) элементы, расположенные на пересечении i-й строки и j-го столбца (i≠j) отрицательны и каждый из них по абсолютной величине равен сумме параметров двухполюсников, дуги которых одновременно инцидентны узлам (или ячейкам), соответствующим данной строке и столбцу.

10. Покажите, что в канонических системах координат параметры компонентов входят не более чем в четыре клетки матриц Y и Z. Рассмотрите частные случаи для собственных и взаимных параметров.

11. Какие типы зависимых источников допустимы при формировании математической модели в однородных системах координат?

12. Запишите уравнения сечений и контуров для электрической схемы, изображенной на рис. 1.5.

13. Запишите уравнения сечений для механических систем, изображен­ных на рис. 1.7 и 1.9,

14. Запишите узловые уравнения для ламповой схемы (см. рис. 2.3) и определите напряжение на резисторе R4.

15. Запишите уравнения сечений и контуров для транзисторной схемы (см, рис. 2.5) непосредственно по правилам, изложенным в (2.4) и (3.5).

4. НЕОДНОРОДНЫЙ КООРДИНАТНЫЙ БАЗИС

4.1. Формирование уравнений

Ограничения, накладываемые на компонентные уравнения при использовании однородных систем координат, заставляют в общем случае прибегать к неоднородному координатному базису, который образуется некоторой совокуп­ностью независимых сечений и контуров графа. Наиболее простой алгоритм формирования уравнений в неоднородной системе коор­динат основан на подстановке в компонентные уравнения векторов продольных ξX и поперечных ηX переменных дуг графа, полученных из топологических уравнений.

Выберем фундаментальное дерево так, чтобы в него вошли все е-дуги, а все j-дуги остались в дополнении. С учетом зависимости Р=[—π' 1] топологические уравнения запишем следующим об­разом:

Так как

выражаются через заданные величины (функции времени), то отсюда находим

Эти выражения подставляем в компонентное уравнение, кото­рое в неявной форме имеет вид :

или

Тогда получаем выражение

которое и представляет собой математическую модель системы в неоднородном координатном базисе. Оно может быть представлено также в виде:

Таким образом, в сокращенной записи WX=QF матрицы W и Q выражаются следующим образом:

Полученное уравнение соответствует

ска-

скалярным уравнениям, где υ и σ — соответственно ранг и цикломатическое число графа, a qE и qJ— количества дуг источников продольных и поперечных величин. Поскольку υ = p — k и σ=q—p + k, то п = q — (qE + qJ )+ qх — числу дуг графа системы (без дуг источников). Матрица W — квадратная порядка qx, a Q —прямоугольная размера qх ×(qE + qJ ).

Решив уравнение WX = QF относительно вектора Х = (ξХТ, ηXN), можно определить векторы ηXN и ξХТ по приведенным выше формулам. Из топологических уравнении следуют также соотноше­ния:

которые используются для определения векторов ηЕ и ξJ (если это требуется).

4.2. Преобразование компонентной матрицы

Матрицу W можно рассматривать как результат преобразования компонентной матрицы

в соответствии с матрицей πXX, которая служит оператором этого преобразования. Легко понять, что i-й столбец выражения VξT + VξNπtXX получается алгебраическим суммированием с i-м столб­цом матрицы VξT тех столбцов матрицы VξТ, которые соответст­вуют ненулевым элементам i-й строки матрицы πXX со знаками этих элементов. Аналогично, i-й столбец выражения VηN — VηТπxx получается путем алгебраического суммирования с i-м столбцом матрицы VηN тех столбцов матрицы VηТ, которые соответствуют ненулевым элементам

i-го столбца матрицы πXX с противополож­ными знаками этих элементов (в обоих случаях i принимает зна­чения всех номеров матриц

VηТ и Vηn).

При реализации алгоритма формирования математической моде­ли на вычислительных машинах сильно разреженную матрицу сече­ний удобно представлять в сжатой форме списками дуг, инцидент­ных сечениям. В таких условиях целесообразно оперировать со строками матрицы πXX и для получения выражения VηN — VηТπxx. Это значит, что i-й столбец матрицы VηТ должен суммироваться с теми столбцами матрицы VηN , которые соответствуют ненулевым элементам i-й строки матрицы πXX с противоположными знаками этих элементов. Процедура преобразования матрицы V для получения матрицы W иллюстрируется на рис. 4.1.