Дискретно-непрерывная математика (стр. 52 )

Эта формула может быть записана в виде

(56)

где

(57)

(58)

Утверждение 1. При выполнении условия (54) любую активную цепь с зависимыми источниками напряжения можно представить в виде цепи с одной обратной связью, причем передаточная функ­ция главной ветви и передаточная функция ветви обратной связи определяются формулами (57) и (58) (рис. 20).

Рис. 20. Цепь с обратной связью.

В случае очень сильной обратной связи, т. е. когда имеем

(59)

Из этой формулы, известной из теории обратной связи, сле­дует, что усиление цепи с очень сильной обратной связью не зави­сит от элементов главной ветви.

Пример 16. Определить усиление напряжения и возврат­ную разность для схемы с обратной связью (рис. 21, а).

Рис. 21.

Решение. В этой цепи две активные связи (рис. 21, б): β1 с γ1, а также β2 с γ2. Выбираем ориентацию ветвей β и γ, учитывая то, что в схеме используются унисторные тре­угольники (рис. 21, в).

Рассчитаем блочную группу заданной цепи (граф цепи служит ее обратным изображением), которая представляет собой произведение трех блочных групп

Р1 = [1 2 3], Р2 = [3 4 5], Р3 = [3 6 7].

В результате получим

Усиление напряжения цепи рассчитаем по формуле

Имеем

W1=K1z2, W2=K2z5.

Подставив эти выражения в формулу усиления напряжения, получим

Примечание. Знаки слагаемых функции совпадения можно найти, приняв следующее определение функции ориен­тации:

Ориентация (β1, β2, …, βm, γ1 … γn) =

=

согласно формулам (48).

Возвратная разность определяется по формуле F = ∆/∆0,

где , т. е.

9.3. Анализ электрических модуль-схем методом блочных групп

9.3.1. Введение

Электрическая модуль-схема — это схема, составленная из мно­гополюсников, где под многополюсником понимается цепь с не­сколькими выводами (например, двух-, трех-, четырехполюсник и т. д.), содержащая элементы с сосредоточенными или распреде­ленными параметрами и не имеющая индуктивной связи с другими многополюсниками схемы. Многополюсник может иметь внутрен­ние индуктивные связи. В данной работе будем рассматривать линейные электрические модуль-схемы.

На рис. 1. а изображена модуль-схема, состоящая из четырех четырехполюсников, т. е. модулей с четырьмя выводами W1, W2, W3, W4, и имеющая 10 узлов μ1, μ2, μ3, …, μ 10.

Рис. 1. Модуль-схема: а) схема цепи; б) модуль-граф цепи.

Считаем, что проводники, соединяющие отдельные блоки, не обладают сопро­тивлением и не имеют взаимных индуктивных и емкостных связей (в противном случае проводники нужно рассматривать как часть соответствующих блоков).

Граф модуль-схемы будем изображать в виде модуль-графа, отдель­ные модули которого соответствуют многополюсникам схемы. На рис. 1, б представлен модуль-граф для схемы, показанной на рис. 1, а, число модулей и вершин которого равно соответ­ственно числу многополюсников и узлов модуль-схемы, а число выводов — числу выводов соответствующего многополюсника схе­мы. Модуль-граф не имеет ребер, соединяющих выводы разных модулей, т. е. проводники, соединяющие выводы многополюсников схемы, представляются соответствующими вершинами модуль-графа. Заметим, что число контуров, образованных многополюсни­ками схемы, равно числу циклов скелета ее модуль-графа. В связи с этим напишем

, (1)

где М — число независимых контуров, образованных соедине­ниями модуль-схемы, равное числу независимых циклов скелета ее модуль-графа; vk — число выводов многополюсника Wk, равное числу вершин модуля Гk модуль-графа; g — число многополюсников модуль-схемы, равное числу модулей модуль-графа; v — число узлов модуль-графа, равное числу вершин модуль-графа.

Например, для модуль-схемы, представленной на рис. 1, а, а также для ее модуль-графа (рис. 1, б) имеем

v 1 =4, v2 = 4, v3 = 4, v4 = 4, v = 10, g = 4,

следовательно,

М = 16 — 10 — 4 + 1 = 3.

При рассмотрении модуль-схемы возможны два случая:

а) струк­тура многополюсников (модулей) схемы известна;

б) структура мно­гополюсников схемы неизвестна.

В первом случае модули модуль-графа можно заменить подгра­фами отдельных многополюсников схемы, после чего определить блочные группы Аі этих модулей.

Во втором случае можно воспользоваться только внешними параметрами отдельных многополюсников, например передаточ­ными сопротивлениями или проводимостями, коэффициентами передачи напряжения, тока, а также напряжениями и токами зажимов и т. д. Этот случай более интересен по следующим при­чинам. Во-первых, при анализе цепей с известной структурой многополюсников, особенно когда в них встречаются элементы с распределенными параметрами и индуктивными связями, эти многополюсники можно рассматривать как части цепи, не опре­деляя их схем замещения. Так, например, анализируя электриче­скую цепь с индуктивными связями, можно выделить в этой цепи элементы связи и рассматривать их как многополюсник (с неизвестной структурой), а затем анализировать цепь как модуль-схему. Во-вторых, при синтезе электрических схем можно рассматривать их как модуль-схемы, учитывая лишь внешние параметры отдельных многополюсников, т. е. не определяя их вну­тренней структуры, так как внешние параметры многополюсников определяют не один, а целый класс структур.

Модуль-схемы (неэлектрические) находят применение во многих обла­стях: экономике, организации и т. д. Если, например, построить «хозяй­ственную» модель в виде модуль-схемы, отдельные модули которой представ­ляют собой хозяйственные единицы, а связывающие их линии — пути взаи­модействия этих единиц, то такую модель можно анализировать (не изучая структуры отдельных модулей), основываясь только на их внешних харак­теристиках, определяющих способ отклика хозяйственных единиц на внеш­ние возмущения.

При анализе модуль-схем с неизвестной структурой модулей вос­пользуемся методом полных блочных групп.

9.3.2. Детерминантная функция модуль-схемы

Как известно, детерминантная функция блочной группы А равна определителю ∆ матрицы узловых проводимостей схемы, граф которой служит геометрическим изображением блочной группы А. а проводимости ветвей образуют множество Y комплексных чисел, т. е.

. (2)

Аналогично определим детерминантную функцию полной блочной группы

(3)

Например,

Заметим, что в отличие от детерминантной функции блочной группы А в детерминантную функцию полной блочной группы могут входить коэффициенты и показатели степени, боль­шие 1.

На основании определения равенства блочных групп А и можно написать