Дискретно-непрерывная математика (стр. 72 )

Для упрощения процедуры приведение уравнений (21) к виду (24) производится с использованием ориентирован­ного графа, который строится на основе уравнений (21). Вер­шины этого графа изображают переменные уравнений (21): а величины передач ребер равны соот­ветствующим коэффициентам при переменных.

Исходный граф путем последовательных упрощений по известным правилам (табл. 2) приводится к конечному ви­ду, на основании которого записываются уравнения (24).

Таблица 2

Основные правила преобразования сигнальных графов

На следующем этапе описания блоки рассматриваются как новые компоненты системы и процедура описания пов­торяется.

Блок-схема алгоритма описания расчетной схемы блочным методом показана на рис. 5.

Рис.5

5. МЕТОДЫ ПОИСКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ОБЪЕКТОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Уравнения движения систем, ха­рактеризующие их динамику и полученные путем математикческого описания расчетных схем, представляют собой системы обыкновенных дифференциальных или алгебро— дифференциальных уравнений.

Методы поиска решений уравнений движений систем разделяются на точные и приближешше. При расчетах динамических характеристик систем вследствие нелинейности уравнений применяются главным образом приближенные методы поиска решений,

При автоматизированном поиске приближенных решений дифференциальных уравнений используются численные методы, в частности одношаговые методы: метод Эйле­ра и методы Рунге-Кутта, достаточно просто реализуемые на ЭВМ.

Решение дифференциального уравнения первого порядка при начальном условии производится методом Эйлера по формуле

(25)

где - шаг интегрирования;

методом Рунге-Кутта по схеме четвертого порядка по фор­муле

где

Ошибка метода Эйлера имеет порядок Метод Рунге-Кутта четвертого порядка имеет ошибку на шаге поряд­ка

Недостатком метода Эйлера являетег невысокая точ­ность вычислений, в связи с чем этот метод эффективен при поиске решений, используемых в качестве первого приближе­ния.

Достоинствами метода Рунге-Kyттa являются высокая точ­ность и возможность проведения вычислений с переменным шагом. Недостатки метода: необходимость вычисления функ­ции на каждом шаге в нескольких точках, а также значительные затраты машинного времени, если функция сложного вида.

При выборе шага интегрирования руководствуются соображениями устойчивости вычислительной схемы. В качестве критерия устойчивости принимается величина

(27)

При q≤10-2 схема вычислений считается устойчи­вой. При q>10-2 шаг интегрирования следует умень­шить и снова проверить величину q.

Метод Рунге-Кутта применим также для приближенного решения дифференциальных уравнений n-го порядка или систем из n дифференциальных уравнений первого по­рядка. Например, для дифференциального уравнения второ­го порядка

приняв

имеем два уравнения первого порядка

с начальными условиями и

Формулы Рунге-Кутта в этом случае имеют вид

(28)

где

Поиск решений системы алгебро-дифференциальных уравнений осуществляется путем сведения данной системы к одному дифференциальному уравнению высокого порядка, которое решается численно, например, методом Рунге-Кутта либо на основе специальных численных или чисденно-авалитических методов.

ПРИМЕР СОСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

ОБЕСПЕЧЕНИЯ РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ

Построить расчетные зависимости для определения нагруженности и угловой скорости механизма, состояще­го из цилиндрической зубчатой передачи, вала и махови­ка (рис. 1, а).

Рис.1

Известны все параметры данной системы, а также внешние воздействия на систему: кинематическое и силовое

Для составления математической модели системы используем топологический метод описания систем. Разделяем систему на три компоненты: зубчатую передачу I, вал I I и маховик I I I (рис, 1, б). Для каждой компоненты строим полюсный граф (рис, 1, в) и записываем полюс­ные уравнения: зубчатая передача

(1)

где

вал

(2)

где

маховик

(3)

где

В уравнениях (1) - (3) приняты следующие обозна­чения:

- моменты, воспринимаемые звеньями механизма.

- угловые скорости звеньев;

- моменты инерции звеньев;

- приведенные коэффициенты сопротивле­ний в опорах звеаьев;

- коэффициенты, характеризующие приве­денную крутильную податливость звень­ев.

- передаточное отношение зубчатой передачи;

- оператор дифференцирования.

На основе полюсных графов компонент строим граф системы (рис. 1, г) и выбираем дерево графа (рис, 1, д). В соответствии с выбранным деревом из полюсных уравне­нии компонент должны исключаться переменные Для определения строим фундаментальные контуры I и II (рис. 1, е), из которых соответственно имеем:

Значения определяем из отсечений I и II (рис. 1, ж):

Подставив значения в уравнения

(1) -(3), получим уравнения движения системы:

(4)

Для поиска решений уравнений (4) применим специ­альный числе - нно-аналитический метод, являющийся тополо­гической интерпретацией метода Эйлера. С этой целью, заменив в уравнениях (4) производные на конечно-разно­стные выражения, получим:

(5)

где - шаг интегрирования, i=1,2,…,r.

Уравнения (5) представим в виде конечного ориентированного графа (рис, 2, а), который путем последоватольных преобразований приводится к более простому виду (рис. 2, б, в), на основании которого записываются соот­ветственно значения искомых переменных

(6)

(7)

(8)

где

Рис. 2

При i = 1 значения равны нулю и из уравнений, (6) - (8) определяются значения . При i = 2 значения подставляются в уравнения (6) - (8) и определяются и т. д. до i=r.