Дискретно-непрерывная математика (стр. 7 )

Блок (рис. 2.10, а), характеризующийся массой М, моментом инерции τ, радиусом r и сопротивлением трения В, представляется полюсным графом с тремя дугами (рис. 2.10, б) и описываемся системой уравнений:

где f1, f2, f3 — силы, приложенные в точках а, b, с; x1 х2, х3 — перемещения этих точек.

Рис. 2.10. Блок (а) и его полюсный граф (б).

На рис. 2.11 изображена схема с механическими многополюсни­ками и ее граф.

Рис. 2.11.. Механическая система с многополюсными компо­нентами (а) и ее граф (б).

Рычаг Р1, представлен на графе дугами 1′ и 2', а ры­чаг Р2 — дугами 1" и 2" (эти дуги выделены жирными линиями).

2.7. Дифференциальный редуктор

В качестве примера враща­тельного механического многополюсника рассмотрим дифферен­циальный редуктор, называемый обычно дифференциалом (рис. 2.12, а). Его полюсами являются три вала, которые осу­ществляют связь с другими компонентами. Скорость ω0 пропор­циональна разности скоростей ωа и ωb, т. е. ωс = n (ωа — ωb). Коэффициент пропорциональности п определяется соотношением

между числом зубьев конических зубчатых колес.

Рис. 2.12. Дифференциал (а), его кинематическая схема (б) и полюсный граф (в).

Кинематическая схема дифференциала показана на рис. 2.12, б, а его полюсный граф – на рис. 2.12, в. Для вывода полюсных урав­нений воспользуемся соотношениями динамики для трех валов (без учета трения в подшипниках и упругости валов):

где J1, J2, J3 – моменты инерции валов вместе с насаженными на них коническими шестернями (J3 учитывает также момент инерции непосредственно сцепленной с валом с части дифференциала ), μ1, μ2 μ3 – внешние вращательные моменты, μ – эквивалентный момент нагрузки, приложенный к первому валу со стороны дифференциала.

Соотношение угловых скоростей при выбранном положительном направлении ω (рис. 2.12,а) имеет вид ω3 = -п(ω1 + ω2).

Подставляя значение ω3 в последнее выражение, находим:

Заменив в первых двух соотношениях μ через полученное выражение и присоединив соотношение для угловых скоростей, получим полюсные уравнения дифференциала в виде:

Им соответствует матричное уравнение в операторной форме:

где квадратная матрица третьего порядка является гибридной матрицей дифференциала. Как видно, полюсные уравнения нельзя представить относительно моментов, и, следовательно, матрица YД для дифференциала не существует. Они могут быть преобразованы к уравнениям для угловых скоростей, но тогда матрица ZД будет содержать интегральные операторы.

2.8. Двигатель постоянного тока

При рассмотрении систем с электромеханическим преобразованием энергии в качестве многополюсных компонент фигурируют электрические машины. Они обычно представляются несвязными полюсными графами, а их полюсные уравнения выражают зависимости между электрическими и механическими величинами.

Одним из наиболее простых примеров электрических машин является двигатель постоянного тока (рис. 2.13,а).

Рис. 2.13. Двигатель постоянного тока (а) и его полюсный граф(б).

Он представляется полюсным графом (рис. 2.13,б), дуги которого соответствуют обмотке возбуждения, электрическому входу и механическому выходу. Полюсные уравнения двигателя имеют вид:

где R1, L1 — сопротивление и индуктивность обмотки возбуждения; R2, L2 — сопротивление и индуктивность цепи якоря; G — коэф­фициент, зависящий от параметров машины. Два из этих уравнений нелинейны, так как в них входят произведения переменных.

В частном случае, при постоянном напряжении возбуждения

(и1 = const) и отсутствии реакции якоря, ток возбуждения также постоянен (i1 =i0). Уравнения становятся линейными и в матрич­ной форме принимают вид:

Соответственно, двигатель представляется четырехполюсником, и его полюсный граф содержит только дуги 2 и 3.

2.9. Гидромеханические мно­гополюсники

В технике широко используются раз­личные гидромеханические системы в качестве исполни­тельных механизмов, усили­телей, гидроприводов и т. п. Их можно также рассматри­вать как соединение много­полюсных компонент. Приведем некоторые примеры гидромеханических многополюсников.

Управляющий золотник (рис. 2.14, а) представляет собой много­полюсник с механическим входом, характеризующимся силой f1 и перемещением х, и гидравлическим выходом, характеризующимся разностью давления р2 и объемным потоком жидкости g2.

Рис. 2.14. Управляющий золотник (а) и его полюсный граф (б).

Полюс­ный граф (рис. 2.14, б) состоит из двух дуг, первая из которых отобра­жает механический вход, а вторая — гидравлический выход. Полюсные уравнения управляющего золотника имеют вид:

где В1 и М1 — соответственно вязкое сопротивление и масса золот­никового поршня; R2 — гидравлическое сопротивление; k1 и k21— коэффициенты, определяемые из эксперимента.

Силовой цилиндр (рис. 2.15, а) служит для преобразования гид­равлического давления в механическую силу.

Рис. 2.15. Силовой цилиндр (а) и его полюсный граф.

Дуги полюсного гра­фа (рис. 2.15, б) соответствуют гидравлическому входу (объемный поток g1 и давление р1) и механическому выходу (сила f2 и перемещение х2 поршня). Полюсные уравнения силового цилиндра можно представить в виде:

где S —площадь поршня; В2 и М2 — соответственно вязкое сопротивление и масса поршня.

Управляющий золотник и силовой цилиндр образует совместно гидравлический исполнительный механизм (рис. 2.16, а), позволяющий при небольших управляющих усилиях и перемещениях на входе золотника получать значительные силы и перемещения на выходе си­лового цилиндра.

Рис. 2.16. Гидравлический исполнительный механизм (а) и его

графы (б, в).

Необходимая для этого энергия поступает от внешнего источника давления гидравлической системы. Граф гидравлического исполнительного механизма (рис. 2.16, б) получается объединением полюсных графов его компонентов (дуги управляющего золотника отмечены штрихом, а дуги силового цилиндра — двумя штрихами).

Гидравлический исполнительный механизм также можно рас­сматривать как многополюсный компонент с механическим входом

(f1, х1) и выходом (f2, х2) и представить соответствующим полюсным графом (рис. 2.16, в). Исключая из уравнений золотника и силового цилиндра переменные g1 = g2 и р1 =р2 получаем полюсные уравнения, соответствующие этому графу:

В гидроусилителе (рас. 2.17, а) гидравлический механизм ис­пользуется совместно с рычагом в качестве обратной связи между входом и выходом, которая обеспечивает автоматическое закрывание золотника, когда силовой поршень занимает требуемое положение. В полюсном графе гидроусилителя (рис. 2.17, б) ду­ги 1' и 2' изображают гидравли­ческий механизм, дуги 1" и 2" — рычаг, а дуги 1 и 2 — со­ответственно входное и выходное усилия.

Рис. 2.17. Гидроусилитель (а) и его полюсный граф (б).

2.10 Схемные модели многополюсных компонентов

Один из распространенных методов представления многополюсных компонентов основан на использовании их схемных моделей, состоящих из двухполюсников и называемых часто схемами замещении или эквивалентными схемами. Вид схемной модели компонента зависит от режима его работы, требуемой точности описания его свойств и поставленной задачи.

В качестве примера на рис. 2.18 показаны две схемные модели транзистора.

Рис. 2.18. Схемные модели транзистора (а), высокочастотная модель в квазилинейном режиме (б) и нелинейная модель Эберса-Молла (в).

Одна из них (рис. 2.18,б) является высокочастотной моделью в квазилинейном режиме (при слабых сигналах). Она содержит линейные резистивные и емкостные двухполюсники и источник, ток которого j= gи линейно зависит от напряжения и между узлами b и э.

Модель Эберса-Молла (рис. 2.18, в) представляет транзистор в режиме больших сигналов и содержит нелинейные емкости