Дискретно-непрерывная математика (стр. 37 )

Аналогично провести любые другие преобразования модуль-графа. Приведенные примеры показывают, что применение операции перемещения нижних индексов приводит к существенному упро­щению записи блочной группы модуль-графа.

7.8.7. Графы k-го ранга

Объединяя модули графа второго ранга, получим граф третьего ранга. Повторяя это объединение для графа третьего ранга, получим граф четвертого ранга. Граф k-го ранга определяется следующим образом:

kГ =<kP, kZ, kε>, (121)

где kP — множество вершин графа kГ; kZ — множество модулей графа kГ, представляющих собой графы

(k — 1)-го или более низкого ранга; kε — многоаргументное соотношение инциденции модулей графа kГ.

Последовательное объединение модулей дает ряд графов с расту­щими рангами. Заметим, что для данного ряда справедливы соотношения

kР k-1Р, card kZ< card k-1Z, kε k-1ε. (122)

Блочную группу k-го ранга kА графа kГ определим аналогично блочным группам графов второго ранга, исполь­зуя понятие скелета этого графа.

В качестве примера на рис. 28, б приведен граф третьего ранга 3Г, полученный в результате объединения модулей графа второго ранга 2Г (рис. 28, а).

Рис. 28. Объединение графов второго ранга: а) граф второго ранга; б) граф третьего ранга; в) скелет графа второго ранга;

г) скелет графа третьего ранга.

Модуль 2Г1 графа 3Г образован объединением модулей Г1 и Г2 графа 2Г, а модуль 2Г2 — объединением модулей Г3 и Г4 графа 2Г. В соответствии со скелетом Г'0 (рис. 28, г) графа 3Г найдем блочную группу третьего ранга 3А этого графа

Для преобразования блочной группы 3А в блочную группу второго ранга 2А графа 2Г найдем элементы блочной группы 3А по скелетам подграфов графа 2Г, представленным модулями 2Г1 и 2Г2 графа 3Г (рис. 28, в):

(а)

Так как d1 = b2, а также d2 = a3, имеем

и, следовательно, согласно выражению (а), блочная группа 2А графа 2Г равна

Объединение модулей графа и операция с графами высшего ранга часто упрощают анализ модуль-графов.

Поскольку способ расчета блочных групп графов различ­ных рангов одинаков, то для упрощения записи при обозна­чении графов буквой Г не будем указывать их ранг.

8. Полные блочные группы и замещающие графы

Блочные группы второго или высшего ранга модуль-графа можно привести к замещающим блочным группам первого ранга, применяя операции алгебры блочных групп над их элементами. При этом должны быть известны блочные группы модулей графа, т. е. их структура. Однако в практических при­менениях, например при анализе или синтезе структурных схем систем, не всегда возможно или необходимо знать структуру модулей графа. Иногда удобно рассматривать модуль-схему системы, не углубляясь в структуру отдельных ее модулей, называемых многополюсниками. Например, эти многополюсники могут представлять собой «черные ящики» с выделенными полюсами (входами, выходами, зажимами), в которых могут находиться неизвестные структуры с различными типами связей, с распределенными или сосредоточенными параметрами и т. д. В таком случае достаточно измерить входные величины многополюсника, например напряжения или силу на его зажи­мах или входные импедансы, или задать эти величины при иссле­довании системы. При определении блочной группы модуль-графа по правилам рассматриваемой ранее алгебры блочных групп необходимо иметь сведения о структуре отдельных модулей графа. Эти сведения не нужны, если применить видоизмененную алгебру, основанную на операциях, подобных операциям обычной алгебры, элементы которой назовем полными блочными группами. Прин­ципы этой алгебры будут изложены ниже, а также изложены заме­щающие графы и способ оцределения с помощью этих графов полных блочных групп для графов высших рангов.

8.1. Полные блочные группы

Неупорядоченный набор элементов х, не обязательно различ­ных, удовлетворяющих некоторой функции Ф (х), обозначим

Х=<х | Ф(х) >. (8.1)

Через rХ (х) обозначим число, определяющее, сколько раз эле­мент х встречается в системе X. Рассмотрим две системы X и Y:

X = <х | Ф (х) >, Y = <у | Ф (у) >. (а)

Обозначим

(X Y) {[rX(x)≤rY(y)] (x = y)}. (8.2)

Две системы вида (а) будем считать равными, если

(X = Y) (X Y) (Y X). (8.3)

Суммой систем X и Y вида (а) назовем систему, содержащую все элементы обеих этих систем:

S=(XY) <s|(s X)(s Y)(rs (s))=rX (s) + rY (s)>. (8.4)

Пересечением систем Х и Y вида (а) назовем систему, опре­деляемую следующим образом:

Z=(X∩rY) <z|(z X)(z Y)(rz(z))=min[rX(z),rY(z)])>. (8.5)

Введем определение полной блочной группы.

Определение 1. Полной блочной группой называется неупорядоченная система наборов вида (а)

= <ak|ak = <αik | αik N>> , (8.6)

где N —множество натуральных чисел при следующих условиях:

1. ( = ) ( ) ( ),

2. + =, (8.7)

3. = (a b|(a ) (b )).

Из этого определения следуют известные соотношения элемен­тарной алгебры

(8.8)

(дистрибутивность).

Нетрудно заметить, что модулем сложения полных блочных групп служит блочная группа < >, которая представляет собой пустую систему, а модулем умножения — блочная группа <>, содержащая одно и только одно пустое число а. Для произвольной блочной группы :

(8.9)

В соответствии с этим блочную группу < > обозначим через 0, а блочную группу <> — через 1: