Дискретно-непрерывная математика (стр. 39 )

то можно написать

= или = : (8.21)

т. е.

( = ) ( = ), ≠0. (8.22)

Условием существования частного , кроме ≠0, будет требование, чтобы множество простых сомножителей блочной группы было подмножеством простых сомножителей блочной группы , т. е.

{′1 ′2 ... ′m}{1 2 ... n},

где

=1 2 ... n , = (8.23)

Введем следующее обобщение.

Пару блочных групп (,) будем записывать в виде /, если

(8.24)

Для полных блочных групп справедливы тождества

(8.25)

В соответствии с определением (8.6) полную блочную группу можно также записать в виде матрицы

= (8.26)

и рассматривать как неупорядоченную систему столбцов ak (не обязательно различных), состоящих из неупорядоченных элемен­тов (также не обязательно различных)

(8.27)

Равенство, а также способ получения суммы и произведения полных блочных групп, записанных в виде матрицы, проиллю­стрируем следующими примерами:

Для полных блочных групп справедливо следующее утверждение.

Утверждение 8.1. Полную блочную группу можно всегда записать в канонической форме

= (8.28)

Действительно, согласно принятым определениям операций, имеем

Обозначая

<αik> =aik, (8.29)

формулу (8.28) можно записать в виде

= (8.30)

Выражение aik в формуле (8.29) назовем полной блочной единицей.

Если полная блочная группа имеет все столбцы, такие же, как блочная группа А, то можно написать

А. (8.31)

Это равенство симметрично, т. е.

( А) (A ) (8.32)

и, кроме того, имеют место следующие зависимости:

(8.33)

Применяя соотношение

(kA ) {(A ) (A kA)}

и предполагая, что A , запишем в случае необходимости блочную группу А графа Г в виде полной блочной группы .

Определим алгебраическую производную полной блочной группы по элементу α.

Определение 8.2. Алгебраическая производная полной блочной группы = <ak>k=l, 2, . . .,n, ak = <αik>i=1, 2, .. ,т по элементу α представляет собой полную блочную группу , определенную следующим образом:

(8.34)

Алгебраическая производная полной блочной группы по эле­менту α находится по правилам дифференцирования алгебраиче­ских многочленов. Эту производную можно также рассчитать путем дифференцирования полной блочной группы, записан­ного в канонической форме (8.28) или (8.30).

Пример 8.1.

Если А, то

(8.35)

Для алгебраической производной суммы, произведения и част­ного полных блочных групп справедливы те же соотношения, что и при дифференцировании алгебраических многочленов, а именно

(8.36)

С целью упрощения формы записи полных блочных групп будем применять операцию переноса нижних индексов в соответ­ствии со следующими правилами:

(8.37)

Определим обратную алгебраическую производную полной блочной группы.

Определение 8.3. Обратной производной полной блочной группы

= <ak>k=l, 2, . . .,n, ak = <αik>i=1, 2, .. ,т

по элементу α называется полная блочная группа , опре­деленная как

(8.38)

Это означает, что обратную производную составляют лишь те столбцы блочной группы , которые не содержат элемента α.

Пример 8.2.

Если А, то

(8.39)