Дискретно-непрерывная математика (стр. 1 )

Парадигма развития науки

Методологическое обеспечение

ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ МАТЕМАТИКА

Книга 7

Графы

Часть 4

Киев

«Освіта України»

2015

УДК 51 (075.8)

ББК В161.я7

К213

Рецензенты:

— к-т физ.-мат. наук, доц. (Национальный технический университет «КПІ»);

— д-р физ.-мат. наук, проф.,

— к-т техн. наук, доц. (Киевский университет экономики, туризма и права);

— д-р техн. наук, проф. (Национальный авиационный университет).

К213 Дискретно-непрерывная математика. (Графы. К.7, Ч.4 (в 7 частях)).—В 15-и кн. Кн 7,— К.: Освіта України. 2015.494с.

ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание)

ISBN 978-966-373-694-5 (книга 7)

Многотомная работа содержит систематическое изложение математических дисциплин, исспользуемых при моделировании и исследованиях математических моделей систем.

В работе излагаются основы теории множеств, отношений, поверхностей, пространств, алгебраических систем, матриц, графов, математической логики, теории вероятностей и массового обслуживания, теории формальных грамматик и автоматов, теории алгоритмов, которые в совокупности образуют единную методолгически взамосвязанную математическую систему «Дискретно-непрерывная математика».

Для бакалавров, специалистов, магистров, аспирантов, докторантов и просто ученых и специалистов всех специальностей.

УДК 51 (075.8)

ББК В161.я7

ISBN 978-966-373-693-8 (многотомное издание) © ,

ISBN 978-966-373-694-5 (книга 7) © Освіта України, 2015

Оглавление

1. Полюсные гафы………………………………………………………….9

1.1. Физические системы с сосредоточенными компонентами………...9

1.2. Полюсные графы……………………………………………………..10

1.3. Электрические цепи………………………………………………….13

1.4. Механические поступательные системы…………………………...15

1.5. Механические вращательные системы……………………………..18

1.6. Пневматические системы……………………………………………20

1.7. Аналогии……………………………………………………………..22

1.8. Нелинейные и параметрические компоненты…………………24

2. Многополюсные графы……………………………………………….29

2.1. Полюсный граф многополюсника…………………………………..29

2.2. Уравнения многополюсника………………………………………..31

2.3. Электронный триод………………………………………………….33

2.4. Транзистор……………………………………………………………34

2.5. Трансформатор……………………………………………………….35

2.6. Механические многополюсники……………………………………38

2.7. Дифференциальный редуктор………………………………………40

2.8. Двигатель постоянного тока………………………………………...41

2.9. Гидромеханические мно­гополюсники……………………………..43

2.10 Схемные модели многополюсных компонентов………………..45

3. Системы координат……………………………………………………50

3.1. Математические модели физических систем………………………50

3.2. Топологические уравнении………………………………………….52

3.3. Уравнения сечений…………………………………………………..57

3.4. Уравнения контуров…………………………………………………60

3.5. Преобразование источ­ников………………………………………..62

3.6. Транзисторная схема………………………………………………..65

3.7. Электромеханическая система……………………………………...72

3.8. Узловые уравнения…………………………………………………..76

3.9. Уравнения ячеек……………………………………………………..78

3.10. Системы с двумя сторонами……………………………………….81

4. Неоднородный координатный базис………………………………….86

4.1. Формирование уравнений…………………………………………...86

4.2. Преобразование компонентной матрицы…………………………..87

4.3. Гидромеханическая система……………………………………….89

4.4. Иерархия дуг…………………………………………………………91

4.5. Переменные состояния……………………………………………..92

4.6. Уравнения переменных состояния…………………………………94

4.7. Линейные системы…………………………………………………..96

4.8. Нелинейные системы……………………………………………….102

4.9. Выходное уравнение………………………………………………..109

4.10. Ограничения и обобщения………………………………………..109

4.11. Исключение зависимых дифференциальных переменных…….112

5. Сокращенный координатный базис………………………………...122

5.1. Начальные положения……………………………………………...122

5.2. Уравнения в сокращенном координатном базисе………………..124

5.3. Матрично-векторные параметры………………………………….125

5.4. Оптимальное разбиение дуг…………………………………….127

5.5. Определение матрично-векторных параметров………………….129

5.6. Операции над столбцами………………………………………131

5.7. Уравнения переменных состояния………………………………..135

5.8. Особенности сокращенного координатного базиса……………..140

5.9. Обобщенная процедура……………………………………………142

5.10. Введение реактивных параметров……………………………….145

5.11. Разделение переменных…………………………………………..147

6. Блочные группы как средство описания графов…………….151

6.1. Понятия блочных групп и операции над ними...................151

6.2. Свойства блочных групп……………………………………..157

6.2.1. Делители нуля………………………………………………157

6.2.2. Делимость блочных групп………………………………...157

6.3. Геометрическое изображение блочной группы………….163

6.4. Дополнительная блочная группа и геометрическое

обратное изображение……………………………………………..165

6.5. Алгебраическая производная и обратная производная блочной группы……………………………………………………..170

6.6. Детерминантная функция блочной группы………………...173

6.7. Функция совпадения блочной группы………………………175

6.8. Понятие ряда и последовательности блочных групп……..180

7. Блочные группы и графы высших рангов.............................182

7.1. Определение блочной группы второго ранга…………….183

7.1.1. Алгебраическая производная и обратная производная блочной группы второго ранга……………………………………186

7.2. Блочные группы k-го ранга…………………………………..189

7.2.1. Алгебраическая производная и обратная производная блочной группы k-го ранга………………………………………192

7.2.2. Геометрическое изображение блочной группы

k-го ранга…………………………………………………………..194

7.3. Правила организации контурных графов…………………..196

7.4. Правила организации сечений графа……………………….198

7.5. Блочная группа графа с замкнутыми вершинами…………200

7.6. Блочная группа разомкнутого графа..................................204

7.7. Преобразование графа………………………………………...206

7.8. Графы второй категории (модуль-графы)………………….214

7.8.1. Определение модуль-графа……………………………….214

7.8.2. Блочная группа модуль-графа……………………………216

7.8.3. Дерево второго ранга……………………………………….226

7.8.4. Модуль-граф с выделенными элементами……………….233

7.8.5. Преобразования модуль-графов………………………….238

7.8.6 Перемещение нижних индексов……………………………244

7.8.7. Графы k-го ранга…………………………………………….248

8. Полные блочные группы и замещающие графы....................250

8.1. Полные блочные группы…………………………………….251

8.2. Замещающие графы……………………………………………260

8.3. Полная блочная группа модуль-графа……………………..276

8.4. Деревья и деревья высших рангов модуль-графа…………294

9. Анализ структур средствами блочных групп и

модуль-графами…………………………………………………….302

9.1. Анализ структур, представленных пассивными цепями…303

9.1.1. Анализ пассивного четырехполюсника...........................303

9.1.2. Анализ пассивного двухполюсника……………………….322

9.1.3. Анализ произвольных цепей……………………………….325

9.2. Анализ активных цепей……………………………………….330

9.2.1. Анализ цепи, содержащей один зависимый источник напряжения………………………………………………………….330

9.2.2. Анализ цепи, содержащей два зависимых источника напряжения………………………………………………………….335

9.2.3. Формулы для расчета цепи, содержащей N

зависимых источников напряжения…………………………….340

9.3. Анализ электрических модуль-схем методом

блочных групп………………………………………………………345

9.3.1. Введение..........................................................................345

9.3.2. Детерминантная функция модуль-схемы…………………348

9.3.3. Входной импеданс модуль-схемы…………………………356

9.3.4. Коэффициент передачи напряжения модуль-схемы…….364

9.3.5. Схемы замещения……………………………………………386

9.3.6. Преобразование активных модуль-схем………………….393

9.4. Анализ электрических цепей с помощью

переключающих схем и методом циклов………………………..396

9.4.1. Анализ электрических цепей с помощью

переключающих схем………………………………………………396

9.4.1.1. Переключающая схема.................................................396

9.4.1.2. Анализ пассивных схем…………………………………..399

9.4.1.3. Анализ активных цепей…………………………………..402

9.4.1.4 Образование деревьев схемы ZI………………………….411

9.4.2. Анализ электрических схем методом циклов……………412

10. Синтез структур средствами блочных групп и

модуль-графами........................................................................416

10.1. Синтез структур, представленных пассивными двухполюсниками…………………………………………………..418

10.2. Синтез пассивного RLC-четырехполюсника……………..424

10.2.1. Предварительные сведения………………………………424

10.2.2. Определение знаков слагаемых

функции совпадения………………………………………………431

10.2.3. Синтез четырехполюсника средствами ЭВМ…………..436

10.2.4. Метод расчета элементов четырехполюсников………..448

Приложение..............................................................................453

Литература................................................................................494

1. ПОЛЮСНЫЕ ГРАФЫ

1.1. Физические системы с сосредоточенными компонентами.

Графы широко используются как структурные модели физических систем, допускающих идеализированное пред­ставление в виде схем с сосредоточенными компонентами. Соединение компонентов между собой осуществ­ляется исключительно путем объедине­ния их полюсов, образующих узлы схемы. В зависимости от числа по­люсов различают двухполюсные и многополюсные компоненты, которые называют соответственно двухполюс­никами и многополюсниками. Так, схема рис. 1.1 представляет собой соединение двух трехполюсников (А и В), четырехполюсника (С) и трех двухполюсников (D, E, F).