Дискретно-непрерывная математика (стр. 61 )

(9)

где уμv — проводимость ветви, соединяющей узлы μ и v.

Замечание. Формула (9) аналогична формуле (3), применяемой для схем, не содержащих управляемых источ­ников, так как

Проводимость Y0μv схемы с отключенной ветвью уμv, таким образом, равна

(9а)

Чтобы проиллюстрировать формулы (6) — (8), обратим внимание на деревья р, r u t схемы ZI (рис. 7, б — г). Для этих деревьев (при условии что в схеме имеются только источники Е, Esi, Esj и Esk) получим

Проводимость схемы между узлами μ0 и μ (рис. 7, а) или относительно ветви уα (рис. 7, г), согласно формуле (9), равна

где, как следует из рис. 7, б и в:

При анализе схем с управляемыми током источниками напря­жений в соответствующие ветви деревьев схемы ZI вместо источников с напряжениями si, sj, sk, ... следует включить источники с напряжениями

s'i,уi, s'jуj, s'kyk, . . .,

где s'i, s'j, s'k, . . .— коэффициенты управления по току

(s'i = Esi/Ii, …); yi. уj, yk, … проводимости ветвей управляю­щих токов Ii, Ij, Ik, . . . . При анализе схем с управляемыми током источниками токов (риc. 8, а) ток I рассчитываем по формуле

(10)

где

(11)

(12)

ip, ipi, ipj, iрk ,…… —токи, измеренные в ветвях дерева р (рис. 8, б) (следует обратить внимание на обратное направ­ление источников тока si, sj, sk, . . ., имитирующих управляе­мые источники Isi, Isj, Isk, …); npi — число четных переста­новок элементов множества {|I0|, | si |}, полученного в резуль­тате подстановки в множество {| ip |, | ipi |} абсолютных значений токов, измеренных в соответствующих ветвях дерева р и т. д. (аналогично формулам (7) и (8)).

Рис. 8. Активная цепь с управляемыми током зависимыми источниками тока: а) модуль-схема; б) схе­ма дерева Dp цепи ZI с источниками (зависимые ис­точники с обратной полярностью).

Отдельные слагаемые сумм в выражениях (11) и (12) определяются так же, как в выражениях (7) и (8), но с той разницей, что в пересечениях множеств деревьев верхние указатели заменяем на нижние, а нижние на верхние.

Проводимость Yμv схемы между ее любыми узлами μ и v рас­считываем по формуле

(13)

где уμv — проводимость ветви, соединяющей узлы μ и v. Проводимость Y0μv схемы с отключенной ветвью уμv равна

(13а)

Анализируя схему с управляемыми напряжением источниками тока, следует в соответствующие узлы деревьев схемы ZI вместо источников тока с токами si, sj, sk, . . . включать источники с токами

где s'i, s'j, s'k, . . .,— коэффициенты источников

(Isi /Ui, Isj /Uj, Isk/Uk, . . .);

уi, yj, yk, . . .— проводимости управляющих ветвей.

Если рассматриваемая схема с управляемыми источниками тока подключена к источникам напряжения, то при применении данного метода такие источники следует заменить источниками тока так, как показано на рис. 9.

Рис. 9. Замена источника напряжения источником тока и наоборот.

В случае схем с управляе­мыми источниками напряжений это правило может также служить для замены источника тока источником напряжения.

Величины деревьев Dр в формулах (7), (8) и (11), (12) можно заменить значениями их дополнений, выраженными в виде произведений импедансов ветвей цепи, не принадлежащих отдельным деревьям. Если обозначить полученные таким образом знаменатели выражений соответственно через М* (вместо М) и через М'* (вместо М'), то импеданс Zμv, измеренный между любыми двумя узлами μ и v, равен

(14)

где zμv — импеданс ветви, соединяющий узлы μ и v.

Таким образом, импеданс Z0μv цепи с отключенной ветвью zμv равен

(15)

Замечание. Такой способ замены адмитанса на импеданс применим и для пассивных цепей (3 —5).

Проиллюстрируем на примерах метод анализа активных цепей.

Пример 1. Рассчитать параметры транзистора, включенного по схеме с общей базой (рис. 10, а). Схема цепи ZI показана на рис. 10, б, а ее деревья — на рис. 10, в.

Рис. 10. Схема транзистора с общей базой: а) схема замещения; б) схема деревьев цепи ZI с включенными источниками.

Коэффициент управления напряжения равен

Так как используем импедансы (резистансы) ветвей схемы, то вместо величин деревьев будем писать величины их дополнений.

На основании изображений деревьев (6) — (8) напишем

Из полученных величин можно рассчитать усиление напряжения и тока, мощности, сопротивления согласования и т. д.

Пример 2. Рассчитать напряжение U3, а также входную Yвх и выходную Yвых проводимости схемы с индуктивной связью (рис. 11, а).

Рис. 11. Цепь с индуктивной связью: а) схема цепи; б) схема заме­щения; в) схема деревьев цепи ZI с включенными источниками.

Составим схему замещения с двумя источниками напряже­ния E2 и E4, управляемыми напряжениями U 4 и U2 (рис. 11, б).

Коэффициенты источников равны

где Z24 = jωM (M— коэффициент взаимной индукции).

Из рассмотрения деревьев схемы ZI (рис. 11, в) (источники без сопротивления подключаем к соответствующим узлам схемы) можно написать

Входная проводимость схемы без ветви y1 источника Е равна

а выходная проводимость схемы без ветви у3

9.4.1.4 Образование деревьев схемы ZI

Описанный метод анализа пассивных и активных схем основан на образовании деревьев переключающей схемы ZI. При анализе простых схем деревья можно найти алгебраическим методом и после их изображения непосредственно установить зависимости для параметров этих схем. Образование деревьев можно автома­тизировать при помощи генератора деревьев, действие кото­рого опирается на следующие свойства дерева:

1) все узлы схемы ZI гальванически соединены замкнутыми ключами дерева;

2) дерево не содержит ни одного контура;

3) число замкнутых ключей в дереве равняется числу узлов схемы ZI, уменьшенному на единицу.

Принципиальная схема генератора деревьев представлена на рис. 12.

Рис. 12. Принципи­альная схема генератора деревьев цепи ZI:

E — источник питания; Мп — блок логического умно­жения; W — индикатор напряжения или тока; 1, 2, 3, 4, 5 — ключи.

Источник питания Е включается в произвольный узел схемы ZI. Оставшиеся узлы присоединяются через блок конъюнк­ции Мп сигналов Sі к индикатору напряжения или тока W. Условием образования дерева служит отклонение индикатора W при разомкнутых М ключах в схеме ZI, где М — цикломатическое число схемы ZI.

Включая в каждое образованное дерево схемы ZI источники, имитирующие источники питания и управляемые источники (в последнем случае с противоположной полярностью), а также осуществляя измерения соответствующих напряжений между узлами и токов в ключах дерева, можно описанным выше способом найти параметры схемы.