Дискретно-непрерывная математика (стр. 69 )

Когда это условие выполняется, то для каждого ∆(X), удовле­творяющего (68), найдется такое 0 ≤λ≤ 1, что

(69)

Программа выполняется следующим образом. Для начального приближения X подсчитываются значения функции F и матри­ца I. Методом ортогонализации находится одно из ∆(X), удовле­творяющих уравнению (68). Проверяется условие (69) при μ=1. Если оно выполняется, то ∆(X) уменьшается в два раза и проверка производится снова. Так поступают до тех пор, пока условие (69) не будет удовлетворяться. Этим способом достигается уменьшение . Новое приближение X получается путем сложения предыдущего ∆(X), при этом могут быть два случая:

1) <epsilon — тогда система уравнений (66) считается решенной;

2) < delta и не выполняется 1) — тогда система уравнений считается нерешенной и ищется решение из нового начального приближения.

В результате применения метода ортогонализации через несколько итераций противоречивость системы (68) приведет к выполнению условия 2.

10.2.4.5. Решение системы линейных уравнений методом ортогонализации

Метод ортогонализации делает возможным нахождение реше­ния только непротиворечивой системы линейных уравнений. Этот метод основывается на преобразовании матрицы коэффициентов систем уравнений в матрицу, у которой строки являются ортого­нальными. Это означает, что скалярные произведения различных строк равны нулю, а скалярные квадраты строк — нулю или единице.

Вместе с матрицей коэффициентов преобразуются свободные члены. Если какая-либо строка имеет скалярный квадрат, рав­ный нулю, а свободный член этой строки не равен нулю, то система противоречива. Умножение транспонированной ортогонализованной матрицы на столбец свободных членов дает решение. В случае противоречивой системы этот метод определяет множе­ство независимых уравнений, для которых решение ищется таким же способом.

Геометрически этот метод можно интерпретировать как прямо­угольную проекцию начала координат на (п — r)-мерную гипер­плоскость решений, расположенную в n-мерном эвклидовом про­странстве (r — порядок системы уравнений).

10.2.4.6. Случаи симметрии в уравнениях (66)

Функции Fi (X) иногда симметричны, это значит существуют нетождественные преобразования переменных х1, . . ., хn, при­водящие систему уравнений (66) в себя.

Эту симметрию можно обнаружить на этапе проектирования четырехполюсника, так как она появляется в графе и через дей­ствия над блочными группами переходит в систему уравне­ний (65), (66), (68).

Если имеется одно решение системы (66), то, применяя к нему упомянутые преобразования, можно получить множество других решений.

С другой стороны, существование множества преобразований для системы (66) и начального приближения не должно изме­нять решения при этих преобразованиях, поскольку этот метод не выделяет ни одну из переменных. Число переменных можно уменьшить, если отождествить те элементы, которые переходят в самих себя. Это значительно ускоряет расчеты.

Приложение

Общий метод расчета динамических характеристик технических систем

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Общий метод предназначен для использования в процессе разработки математического обеспечения инженерных расчетов динамических характеристик технических систем, выполняемых в рамках системы ав­томатизированного проектирования (САПР).

Общий метод устанавливает общие положения, структуру и порядок разработки математического обеспечения, а так­же содержит рекомендации по применению различных частных методов динамического расчета.

Расчет динамических характеристик технических систем является одним из этапов проектиро­вания, в процессе которого определяется и оптимизируется ряд конструктивных и технических параметров технических систем: исполнительные размеры, массы и жесткости элементов (деталей), силовые, кинематические, амплитудно-частотные характе­ристика и т. п.

Автоматизация процесса динамического расчета оборудования на основе использования технических средств САПР является основным способом повышения эффективности и качества проектных работ на этом этапе.

Математическое обеспечение автоматизированных расчетов динамики систем представляет собой сово­купность математических методов, моделей и вычислительных алгоритмов, применяемых при реализации указанных расчетов на ЭВМ.

Подсистема математического обеспечения относится к числу основных элементов САПР и разрабатыва­ется с учетом ряда общих и специальных требований, ха­рактеризующих ее эффективность.

Общими требованиями к дайной подсистеме являются: '

- простота, доступность и универсальность матема­тических методов и моделей;

- инвариантность математических методой по отно­шению к размерности и физической природе объектов проектирования (систем);

- формализм и малая погрешность математических методов и вычислительных алгоритмов.

К специальным требовааиям откосятся:

- составление математического описания объектов проектирования в явном виде;

- блочный (модульный) прииаип построения математических моделей и вычислительных алгоритмов;

- возможность проведения структурного и параметри­ческого синтеза системы на основе единой математической модели.

Одним из главных компонентов математического обеспечения данного назначения является составление математических моделей объектов проектирования.

Разработка математических моделей производится на основе расчетных схем (моделей), в качестве чоторых используются принципиальные или кинематические схемы проектируемых систем либо эвристические или приведенные модели в виде идеализированных механических систем с малой размерности, сосредоточенными параметрами.

На расчеты динамики объектов проектирования в виде технических систем и устройств с распределенны­ми параметрами данный вид математического обеспечения не распространяется.

Адекватность математической модели и объекта проектирования в качественном отношении оценивается уровнем их соответствия по структуре и составу перемен­ных. Количественная оценка динамической эквивалентнос­ти производится путем проверки условия совпадения час­тот и форм свободных колебаний проектируемой системы и ее расчетной модели в заданном частотном диапазоне.

Компоненты pасчетных моделей в зависимости от условий задачи могут рассматриваться как абсолютно жест­кие, так и деформируемые элементы. В последнем случае принимается, что деформации элементов расчетных схем в результате внешнего воздействия являются малыми, а остаточные деформации отсутствуют.

2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ

Разработка математического обеспечения авто­матизированного расчета динамики оборудования представляет собой процесс построения общего алгоритма расчета, приспособленного для реализации на ЭВМ. В структурном отношении процедура составления математического обеспе­чения разделяется на два основных этапа, выполняемых последовательно и имеющих свои локальные цели и задачи.

На первом этапе разрабатывается математичес­кая модель объекта проектирования. Для решения этой за­дачи первоначально составляется расчетяая схема проек­тируемой системы. На следующем шаге

осуществляется математическое описание принятой расчетной схемы, т. е. вывод системы уравнений, характеризующих динамику объекта проектирования на заданном временном интервале.

На втором этапе составляются алгоритмы поис­ка аналитических или численных решений уравнений динамики исследуемого объекта, а также алгоритмы поиска опти­мальных решений. Завершающим шагом является разработка блок-схемы общего алгоритма расчета с указанием состава вводимой и выводимой информации, а также способов ее ввода и вывода,

Основное содержание математического обеспече­ния динамического расчета составляют четыре группы эв­ристических и формальных методов, включающие:

методы схематизации объектов проектирования;

методы математического описания расчетных схем;

методы поиска решений уравнений движения объектов проектирования;

методы оптимизации решений.

Первые две группы методов, объединенные в подсис­тему методов построения математических моделей объек­тов проектирования, применяются на первом этапе разра­ботки математического обеспечения. Третья и четвертая группы методов, объединенные в подсистему методов реа­лизации математических моделей, относятся ко второму этапу.

Блок-схема структуры математического обеспечения автоматизированного расчета динамики оборудования пока­зана на рис. 1.

Рис. 1

3. МЕТОДЫ СХЕМАТИЗАЦИИ ОБЪЕКТОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Расчетные схемы объектов проектирования в об­щем случае изображаются в виде идеализированных систем с сосредоточенными параметрами однородной или смешан­ном физической природы (механических, электрических, электромеханических и т. п.).

Основной задачей схематизации является представление проектируемой системы в виде определенной физической модели, отображающей наиболее существенные, динамические свойства реальной системы, но более простой в структурном отношении.

Схематизация систем производится в основном:

методом структурного подобия;

методом приведения; '

методом замещения.

Выбор определенного метода схематизации зави­сит от целей расчета, конструктивных особенностей обьекта проектирования, а также от метода последующего математического описания расчетной схемы.

При схематизации систем методом структурного подобия расчетная схема по своей структуре и составу элементов полностью или частично соответствует кинема­тической или принципиальной схеме проектируемой системы.

Метод приведения применяется при выборе расчетных схем для объектов проектирования в виде многомассовых систем с большим числом степеней свободы. Расчет­ные схемы подобных систем в целях их упрощения приво­дятся к эквивалентным схемам с меньшим числом степеней свободы.