Дискретно-непрерывная математика (стр. 8 )

(Cкб, Сэб, Скд, Сэд) и резисторы (Дк, Дэ), а также источники, токи которых выражаются через токи i'к и i'э посредством коэффициентов αN и αI.

Характерной особенностью схемных моделей многополюсных

компонентов являются наличие в них зависимых источников, токи или

напряжения которых могут зависеть от токов или напряжений в любой части схемы. На рис. 2.19 показаны четыре основных типа зависимых источников: источники тока, управляемые током (рис 2.19, а) или напряжением (рис. 2.19, б), и источники напряжения, управляемые током (рис. 2.19, в) или напряжением (рис. 2.19, г ) Величины α, g, r, μ, являющиеся коэффициентами пропорциональности в уравнениях зависимых источников, называют управля­ющими параметрами.

Рис. 2.19.Типы зависимых источников (а, б,в, г) и их полюсный граф (д).

Полюсный граф зависимого источник, в отличие от обычного двухполюсника, состоит из двух дуг (рис. 2.19,д). Первая из них отображает величину (ток или напряжение), которая управляет зависимым источником и называется управляющей дугой. Вторая представляет собственно источник и называется управляемой дугой. Чаще всего управляющие величины связаны с некоторыми двух­полюсниками схемы (например, величину и на рис. 2.18, б можно рассматривать как напряжение на двухполюсниках C вэ или rвэ, а управляющие токи i'K и i'э на рис. 2.18, в— как токи двухполюсников Дк и Дэ. В таких случаях роль уп­равляющей дуги играет дуга того двухпо­люсника, ток или напряжение которого управляет зависимым источником.

В общем случае управляющие величины фиксируются в полюсном графе коротко-замкнутыми (для тока) и разомкнутыми (для напряжения) дугами. Аналогичные дуги можно вводить в полюсный граф для фиксации любых токов и напряжений, непосредственно не связанных с компонентами, но представляющих интерес при ана­лизе системы (например, входные и выходные величины, напряже­ние между любой парой узлов, ток в любом проводнике и вообще, любая искомая величина). Если требуется выделить фиксирующие дуги, то для них используются специальные обозначения (рис. 2.20), причем направление дуги всегда совпадает с направлением тока (поперечной величины).

Рис. 2.20. Условные обозначения короткозамкнутой (а) и разомкнутой (б) дуг.

Короткозамкнутая управляющая (или фиксирующая) дуга описывается уравнением и = 0 и поэтому всегда является z-дугой. Разомкнутая управляющая (или фиксирующая) дуга описывается уравнением i = 0 и относится к у-дугам. Управляемые дуги зави­симых источников тока в соответствии с их уравнениями i2 =αi1 или i2 = gu1 являются у-дугами, а управляемые дуги зависимых источников напряжения в соответствии с уравнениями и2 = ri1 или и2 =μ и1 являются z-дугами.

Представление многополюсных компонентов схемными моде­лями применимо не только к электронным, но и к другим системам, а изложенные здесь положения распространяются на них по ана­логии.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Выразить продольные переменные пятиполюсника (см. рис. 2.1, б) через полюсные переменные при условии, что в качестве базисного узла вы­бран узел 3.

2. Изменится ли полюсный граф многополюсника при изменении:

а) фор­мы уравнений многополюсника;

б) базисного полюса?

3. Какие дуги полюсного графа системы с многополюсными компонен­тами имеют:

а) фиксированные направления;

б) произвольные направления?

4. К какому типу (у,z, w) относятся дуги полюсного графа электрова­куумного триода?

5. К какому типу относятся дуги полюсного графа транзистора при условии, что он описывается:

а) r-параметрами;

б) g-параметрами;

в) h-параметрами?

6. Значения h-параметров транзистора в схеме с общей базой следующие:

h11б = 62 Ом; h12б = 0,5·10-3 Ом; h21б = — 0,97Ом; h22б = 10-6 Ом. Опре­делите g-параметры и r-параметры в схеме с общей базой, воспользовавшись зависимостями, приведенными в (2.4).

7. Покажите, что r-параметры транзистора в схемах с общим эмиттером и общим коллектором выражаются через r-параметры в схеме с общей базой зависимостями:

Воспользовавшись этими зависимостями, определите численные значе­ния r-параметров в схемах с общим эмиттером и общим коллектором по значениям r-параметров в схеме с общей базой, полученным в задаче 6.

8. Постройте графы транзисторной схемы (см. рис. 2.5, а) при следующих вариантах выбора базисных полю­сов транзисторов:

а) Т1 с общим коллектором и Т2 с общей базой;

б) T1 с общей базой и Т2 с общим коллектором;

в) T1 и Т2 с общим эмиттером.

9. Постройте граф схемы с индук­тивными связями (рис. 2.20) и запишите уравнения индуктивно связанных двух­полюсников.

Рис. 2.20. Схема с индуктивными связями.

10. Постройте граф механической системы (рис. 2.21), использовав полюсные графы рычага и блока.

Рис. 2.21. Механическая система с многополюс­ными компонентами.

11. Постройте граф гидравлической системы (рис. 2.22) при условии, что насос создает постоянное давление в заданных потоках g1, g2, g3.

Рис. 2.22. Гидравлическая система.

12. Постройте графы схемных моделей транзистора (см. рис. 2.18, б, в) и укажите, какие из дуг имеют фиксированные направления.

13. В графы, построенные в задаче 12, введите разомкнутые и короткозамкнутые управляющие дуги. Сформулируйте правило выбора направлений управляющих дуг.

3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

3.1. Математические модели физических систем

При построе­нии математической модели физической системы исходные данные должны содержать сведения о структуре системы и свойствах вхо­дящих в нее компонентов. Полюсный граф совместно с уравнениями связей позволяет получить зависимости между переменными, кото­рые связаны с выбранной надлежащим образом совокупностью неза­висимых сечений и контуров. Эти зависимости отражают структурные свойства системы и называются топологическими уравнениями, причем сечения и контуры играют роль системы координат, в ко­торой представляется математическая модель. Совокупность по­люсных уравнений, связывающих переменные отдельных компонен­тов, составляет компонентные уравнения.

Топологические и компонентные уравнения дают полное описание системы и путем их преобразования можно получить математи­ческие модели различных типов. Естественно стремление к таким моделям, которые содержат возможно меньшее число переменных, наиболее удобны по форме и требуют минимальных усилий при их построении.

Часто имеется возможность сформировать математическую мо­дель в однородной системе координат, в качестве которых выступают сечения или контуры. Соответственно получаем уравнения сечений и уравнения контуров. Однако в общем случае прихо­дится прибегать к неоднородным системам координат, когда пе­ременные связаны как с контурами, так и с сечениями. Система ко­ординат называется сокращенной, если используется только часть сечений и контуров полюсного графа,

В результате целенаправленного преобразования топологических и компонентных уравнений получаем систему уравнений, которую можно представить в матричной форме следующим образом:

W X =FQ

Квадратная матрица W и матрица Q, элементы которых выра­жаются через параметры компонентов и интегродифференцнальные операторы, полностью определяют систему уравнений относи­тельно вектора переменных X. Вектор F содержит в качестве своих компонент заданные функции, характеризующие независимые источники.

Решение уравнения W X =FQ относительно вектора X позволяет получить совокупность независимых переменных, через которые определяются и любые другие переменные, характеризующие состояние системы. Часто возникает задача представления модели физической системы относительно ее сторон – входов и выходов. Тогда уравнение W X =FQ преобразуется к такому виду, чтобы оно содержало только входные и выходные переменные, а остальные переменные были исключены.

Если требуется получить математическую модель в дифференциальной форме, то необходимо обеспечить такую процедуру ее формирования, чтобы матрица W не содержала интегральных операторов. Обычно эта цель достигается в неоднородных системах координат или принимаются какие-либо специальные методы преобразования полюсных графов и полюсных уравнение компонентов системы. Уравнение W X =FQ в дифференциальной форме может быть преобразовано в уравнение переменных состояния, которое для линейной системы имеет вид:

где х — вектор переменных состояния и v —задающий вектор, связанные между собой матрицами А и В.

Общая процедура преобразования исходных данных к математи­ческим моделям системы показана на рис. 3.1.

Рис. 3.1 Преобразование исходных данных к математическим моделям системы.

3.2. Топологические уравнения

Уравнения связей для вершин (р, q)-графа можно записать в матричной форме

A0ηд=0,

где A0 — сокращенная матрица инцидентности ; ηд = (η1, η2, .... ηq) — вектор поперечных величин дуг графа.