Дискретно-непрерывная математика (стр. 68 )

Пример 4. Фильтр с равноволновой характеристикой, пере­даточная функция которого имеет седьмую степень:

(63)

Расчет фильтра был проведен на ЭВМ. В результате расчетов получена схема фильтра (рис. 10).

Рис. 10. Реактивный фильтр, передаточная функ­ция которого определяется по формуле (63).

Средствами ЭВМ в результате 10 итераций определены следующие значения элементов:

L1 = 1,154722 гн,

L3 = 1,675625 гн,

С2 = 1,112944 ф,

С4 = 0,615818 ф,

С5 = 4,6188886 ф,

С6 = 1,11286 ф,

R7 = 1 ом,

R8 = 1,13542 ом.

Пример 5. Фильтр с оптимально монотонной характеристи­кой (Папулиса) с передаточной функцией пятого порядка

(64)

Расчет этого фильтра также был проведен на ЭВМ. Значения элементов получены в результате 5 итераций. Схема фильтра показана на рис. 11.

Рис. 11. Реактивный фильтр, передаточная функция которого определяется по формуле (64).

Значения элементов фильтра равны

L1 = L3 = 1,466371 гн,

С2 = С5 = 0,7479164 ф,

С4 = 0,4263531 ф,

R6 = R 7 = 0,9644312 ом.

Пример 6. Фильтр на индуктивностях с потерями, с макси­мально плоской характеристикой (Баттерворта), передаточная функция пятого порядка которого имеет вид

Расчет этого фильтра был проведен в два этапа. Вначале был рассчитан фильтр без потерь с передачей

Расчет этого фильтра был проведен за 6 итераций.

На втором этапе были учтены потери в индуктивностях, причем в качестве начальных значений параметров элементов принимались величины, полученные в конце первого этапа. В результате 3 итераций были получены следующие значения элементов фильтра:

L1 = L2 = 1,2595972 гн,

r1 = r2 = 7,4542268·10-2 ом,

C1 = С3 = 1,2375818 ф,

С2 = 0,37590573 ф,

R1 = R2 = 0,7939046 ом.

Схема рассчитанного фильтра изображена на рис. 12.

Рис. 12. Реактивный фильтр, передаточная функция которого определяется по формуле (65).

В заключение следует обратить внимание еще на одно достоин­ство представленного здесь метода синтеза фильтров. Этот метод не требует особой точности расчета, что необходимо при других методах синтеза реактансных фильтров, как, например, в методах Бруне или Кауэра. Это положение следует из вида линейных уравнений (57), на осно­вании которых рассчитываются значения элементов фильтра, так как в этих уравнениях производится только умножение и сложение неизвестных и не требуется выполнения операций вычи­тания и деления. Это серьезное достоинство, обеспечивающее достаточную точность расчета величин элементов без необходимо­сти применения особых методов увеличения точности расчета.

В приведенных выше примерах расчеты проводились для передач с нормированием по частоте и сопротивлению. Для расче­та элементов фильтров, удовлетворяющих определенным техниче­ским условиям, необходимо еще провести денормирование значе­ния элементов. Так как это элементарная операция, она не про­граммируется. Преобразование полученных прототипов фильтров низких частот в фильтры других типов, например полосовых фильтров, фильтров высоких частот или режекторных фильтров, можно легко провести при помощи преобразования частоты.

Приведенные расчеты касались фильтров с очень простой структурой. Однако метод расчета фильтров, представлен­ный ниже, позволяет проводить расчет фильтра про­извольной сложности.

10.2.4. Метод расчета элементов четырехполюсников

Задаются следующие исходные данные: блочная группа графа зазем­ленного четырехполюсника, функция совпадения этой блочной группы, а также коэффициент передачи напряжения четырех­полюсника. Алгоритм метода определяет систему нелинейных уравне­ний (алгебраических), из которых находятся элементы четырех­полюсника: величины сопротивлений, емкостей, индуктивностей. Расчет состоит в определении решений линеаризованных систем уравнений методом Ньютона (путем последовательных прибли­жений) .

10.2.4.1. Система уравнений, определяющих коэффициент передачи напряжения четырехполюсника

Система уравнений для определения параметров четырех­полюсника при заданном коэффициенте передачи напряжения составляется с помощью формулы

(65)

где Аd —дополнительная блочная группа, связанная с графом четырехполюсника; α — номер входной ветви; β — номер выход­ной ветви; Rα — сопротивление входной ветви; Rβ — сопротив­ление выходной ветви; Ки(s) — коэффициент передачи напряже­ния четырехполюсника, являющийся рациональной функцией переменной s. В дальнейшем приняты следующие ограничения.

а) блочная группа Ad описывает заземленную структуру четырехполюсника;

б) в каждой ветви четырехполюсника находится один элемент определенного типа (емкость, сопротивление или индуктивность). Ограничение б) не сужает класс решаемых задач и значительно увеличивает быстроту расчетов.

Система уравнений получается из формулы (65) путем приравнивания коэффициентов при переменной s в правой и левой сторонах числителя и знаменателя. Получается зависимость между величинами С-1, R или L ветви четырехполюсника и коэффициен­тами числителя и знаменателя коэффициента передачи.

Из однородности полученной системы уравнений следует, что параметры элементов четырехполюсника можно определить с точ­ностью до коэффициента пропорциональности.

Знаменатель левой дроби формулы (65) — однородный мно­гочлен относительно элементов, имеющий степень, равную числу ветвей в деревьях Ad (N [5]); числитель — однородный многочлен степени N[5]— 1=N [7], умноженный на .

Блочная группа Ad и ее функция совпадения выражаются через номера ветвей. Коэффициент передачи напряжения задан коэффициентами знаменателя и числителя, представляющими дей­ствительные числа, и степенями переменной s (целые числа).

10.2.4.2. Расчет величин, определяющих систему уравнений

Столбец блочной группы Ad (дерево) определяет произ­ведение элементов, находящихся в этом дереве (ограничение б)), и представляет собой одночлен относительно элементов. Все одно­члены с одинаковыми показателями степеней s суммируются и при­равниваются коэффициентам многочлена передаточной функции с той же степенью s.

Уравнение для числителя получается аналогично, но с той разницей, что полученный многочлен вначале умножается на . Система уравнений имеет вид

F (х1, . . ., хп) = 0,

i = 1, 2, . . ., пr = N [3] + N[4], n=N[1] — N [2]. (66)

N[2] переменных исключается, поскольку приравниваются величины некоторых элементов.

10.2.4.3. Расчет якобиана уравнений (66)

Метод решения, применяемый к системе уравнений (66), предполагает расчет якобиана в любой точке X = (x1.. ., хп). Обозначим

Ii, k (X 1, x1.. ., хп)=

i = 1, ...,пr; k = 1,2, ...,n. (67)

Расчет аналогичен расчету Fi, изложенному в разд. 7.2.4.2. Для величин Fi, определяемых многочленом знаменате­ля (65), составляются одночлены из переменных, номера кото­рых находятся в столбцах Ad, при этом по очереди опускается по одной переменной.

Сумма одночленов, образующих Fi, в которых пропущена переменная xk, создает Ii, k (X). Аналогично поступают и для Fi, определяемых числителем, только одночлены умножаются на .

Дифференцирование относительно Rα и Rβ (присутствующих в формуле только в множителе ) более сложно.

10.2.4.4. Метод Ньютона

Система (66) заменяется линейным приближением

F(X) + I(X)∆X =0, (68)

где

X — матрица-столбец ;

F (X) — матрица-столбец ;

I (X) — матричный якобиан Ii, k (X)= ;

∆(X) — матрица-столбец приращений .

Систему (68) можно решить относительно ∆(X), если она непротиворечива. Достаточным условием этого является равенство рядов матриц

I (X), а также .