Дискретно-непрерывная математика (стр. 18 )

14. Изменяется ли вид уравнений переменных состояния при введении фиксирующих дуг для искомых величин? Если нет, то почему?

15. Почему изложенный алгоритм формирования уравнений переменных состояния не допускает:

а) включения в дерево короткозамкнутых дуг, если они принадлежат особому контуру?

б) включения в дополнение разомкнутых дуг, если они принадлежат особому сечению?

16. Перечислите все особенности, которые вносят в процедуру формирования уравнений переменных состояния, особые контуры и сечения, состоящие:

а) только из реактивных двухполюсников;

б) из реактивных двухполюсников и источников;

в) из реактивных двухполюсников и фиксирующих дуг;

г) из реактивных двухполюсников, источников и фиксирующих дуг.

17. Сформируйте уравнения переменных состояния для схемы рис. 4.8, а при заданных численных значениях, исключив зависимые дифференциальные переменные иС1 и иС2, и сравните результат с полученным в (4.11).

18. По аналогии с электрическими цепями сформулируйте основные положения формирования уравнений переменных состояния для механических и гидравлических систем.

5. СОКРАЩЕННЫЙ КООРДИНАТНЫЙ ВАЗИС

5.1. Начальные положения

При формировании математической модели в неоднородном координатном базисе размеры матрично-векторных параметров определяются в основном числом дуг по­люсных графов компонентов системы, В тех случаях, когда система содержит большое число компонентов, это может принести к серьез­ным трудностям даже при использовании вычислительных машин. Поэтому большое практическое значение имеют вопросы, связанные с сокращением координатного базиса, в котором представляются уравнения системы. Один из путей решения этой задачи основан на подстановке полюсных уравнений в топологические уравнения, которые организуются специальным образом.

Ясно, что компонентные уравнении должны быть представлены в явной форме. При этом для их упрощения можно считать, что у – дуги не управляют по поперчным величинам, а z-дуги не управляют по продольным величинам. Если такое управление в системе имеет место, то указанные дуги освобождаются от него введением дополнительных управляющих дуг: последовательно с у-дугой короткозамкнутой дуги, управляющей по поперечной величине, а параллельно с z–дугой - разомкнутой дуги, управляющей по продольной величине.

В дальнейшем короткозамкнутые дуги объе­диняются в множество

s-дуг и представляются уравнением ξs=0. Разомкнутые дуги объединяются в множество q-дуг и представля­ются уравнением ηQ =0.

Итак, не нарушая общности рассуждений, можно считать, что дуги полюсных графов компонентов системы управляются продоль­ными величинами y-дуг ξY, поперечными величинами z-дуг ηZ, попе­речными величинами s-дуг ηS, и продольными величинами q-дуг ξQ. Тогда компонентные уравнения имеют вид

или в краткой записи

Дерево теперь формируется в соответствии со следующей иерар­хией дуг:

Дерево

−−−−−−−→

e, s, y,z, q, j

←−−−−−−−−−

Дополнение

и называется нормальным деревом. В него входят все е-дуги и s-дуги, а все q-дуги и j-дуги попадают в дополнение (нарушение этого поло­жения свидетельствовало бы о некорректности постановки задачи). Топологические уравнения запишутся следующим образом:

В этих уравнениях

Благодаря специфической структуре, обусловленной способом построе­ния нормального дерева, топологические уравнения вместе с компо­нентными позволяют сформировать математическую модель в со­кращенном координатном базисе.

5.2. Уравнения в сокращенном координатном базисе

Из топо­логических уравнений для сечений и контуров, определяемых у-дугами и z-дугами, имеем соотношения:

которые объединяются в одно матричное уравнение

или

Из топологических уравнений для сечений, определяемых s-дугами, и для контуров, определяемых q-дугами, имеем соотношения:

которые записываются в виде матричного уравнения

или

Подставляя в записанные соотношения компонентное уравнение

X' = V0X" + VDXD, после несложных преобразований получаем:

Составляющие вектора X" выражаются из топологических зави­симостей через продольные величины ветвей дерева и поперечные величины хорд:

что приводит к соотношению

или

Это преобразование, которое получено благодаря специфичес­кой структуре системы координат, и составляет главный момент формирования математической модели в сокращенном координат­ном базисе. Теперь осталось подставить выражение для X" в полу­ченные выше соотношения, в результате чего имеем:

Объединяя эти уравнения, можно записать:

или в сокращенной записи WX = QF.

Вектор F в качестве своих компонентов содержит задающие продольные ε и поперечные υ величины, а вектор Х —продольные переменные у-ветвей дерева, поперечные переменные z-хорд, а также поперечные переменные короткозамкнутых дуг и продольные пере­менные разомкнутых дуг, т. е.

Таким образом, система координат включает только сечения, определяемые s-дугами и у-ветвями дерева, и контуры, определяе­мые z-хордами и q-дугами. Сокращение числа координат, а следо­вательно, и порядка квадратной матрицы W численно равно коли­честву y-хорд и z-ветвей дерева.

5.3. Матрично-векторные параметры

Формально матрично-векторные параметры уравнения WX = QF могут быть вычислены по формулам:

Однако такой путь не целесообразен, так как входящие в эти формулы матрицы содержат нулевые блоки. Поэтому имеет смысл перейти к более подробной записи, сделав по пути некоторые преоб­разования, Рассмотрим сначала блок

Из общего свойства ПРt=0 следует, что произведение любой строки матрицы П на любой столбец матрицы Рt (или строку мат­рицы P) дает нулевую матрицу. Поэтому в нашем случае можно записать:

откуда

ПYYPtZY+ПYZPtZZ=0, т. е. ПYYPtZY = - ПYZPtZZ.. Обозначив ПYZPtZZ=Θ0,

можно записать ПYYPtZY =-Θ0 или PZYПtYY =-Θt0. Таким образом, рассматриваемый блок преобразуется к виду:

Рассматривая аналогично остальные блоки, получаем развернутые выражения для матрично-векторных параметров:

Определив матрицы W и Q, из решения уравнения WX = QF можно найти вектор X. Если интерес представляют только искомые величины, зафиксированные короткозамкнутыми и разомкнутыми дугами, достаточно определить вектор ХD.

В частном случае, когда управляющие короткозамкнутые и ра­зомкнутые дуги отсутствуют, матрично-векторные параметры выражаются значительно проще

а вектор X содержит только компоненты векторов ξYT и ηZN.

5.4. Оптимальное разбиение дуг

Использование сокращенного координатного базиса имеет смысл тогда, когда достигается значи­тельное уменьшение размеров матрицы W. Заметим, что уже при сокращении числа координат на 30% количество клеток матрицы уменьшается примерно вдвого paз. Естественно стремиться до­стигнуть максимально возможного сокращения координатного ба­зиса, что осуществляется с помощью оптимального разбиения взаимоопределенных дуг между множествами у-дуг и z-дуг.

Прежде чем излагать алгоритм оптимального разбиения взаимоопределенных дуг, найдем общее соотношение для количества сокращаемых координат при заданном разбиении. Так как вектор Х не содержит составляющих векторов ξYT и ηZN , то ясно, что сокращаются сечения, определяемые z-ветвями дерева (z-сечения), и контуры, определяемые y-хордами (y-контуры).