Дискретно-непрерывная математика (стр. 67 )

удовлетворяющие условиям реализации (2) и соответствующие сильносвязным графам. K тому же надо принять, что каждая однострочная блочная группа Pij содержит по крайней мере два элемента, например

Aі =[1 2] [1 3] [2 3 4] и т. д.

Таким образом, получаем блочные группы А1, А2, . . ., Ai, . . ., определяющие алгебраическим путем различные структуры графа.

2. Рассчитываем дополнительные блочные группы

Аd1, Аd2, . . ., Adi, . . .,

3. Находим детерминантные функции

4. Ищем алгебраические производные

5. Исследуем все заземленные четырехполюсники, которые соответствуют блочным группам А1, А2, . . ., Ai, . . . (рис. 8).

Рис. 8. Четырехполюсник с тремя узлами.

Структуру получаем путем поочередного выбора вход­ной ветви α и выходной ветви β таким образом, чтобы α и β при­надлежали одной и той же простой блочной группе Pij произведе­ния (55). В результате такой операции получаем функцию совпадения

для которой αk и βk принадлежат одному сомножителю Pij

αk, βk Pij t, j, k=l, 2, ... .

Расчет такой функции совпадения прост в случае синтеза трехполюсника, так как все члены этой функции положи­тельны.

6. Рассчитываем значения элементов четырехполюсника ана­логично расчету элементов двухполюсника. Из сравнения коэффициентов рациональных функций

(56)

получаем следующую систему нелинейных уравнений, которые можно решить средствами ЭВМ

(57)

Функции fk и φk будут суммами произведений

(58)

Метод итерации решения этих уравнений средствами ЭВМ приводится ниже. Он основан на том, что входными величинами служат неизвестные , для которых, например, можно принять значения

= 1 ом, = l гн, = 1 ф, і = 1, 2, .... (59)

Средствами ЭВМ исследуем разности

f0v -b0v = ε0v, v=— (n—1), ..., (п—1),

φ0v — av = δ0v, v= —п, ..., п. (60)

Итерационный расчет проводим таким образом, чтобы умень­шить значения Мах | εμv |, а также Мах | δμv |. Тогда получаем сходящийся ряд итераций, приближенно определяющий вели­чины неизвестных

; ; ; n≥1. (61)

Если при аппроксимации было введено нормирование частоты к полосе w [0 1] и нормирование сопротивлений к R1 = 1 ом, то тогда полностью оправданы принятые ранее значения входных величин (59).

7. В случае необходимости исследуем также структуры с боль­шим числом узлов, соответствующие блочным группам

A1, A2,…, Aq.

Эти структуры можно получить путем поочередного выбора в множестве

В ={1, 2, 3, . . ., b}

двух таких элементов αk и βk, что αk и βk принадлежат двум различным блочным группам Pij произведения (55), т. е.

αk Pij, βk Pij; i, j, k, l = 1, 2, ... (j≠l).

В этом случае функция

может содержать отрицательные слагаемые. Положительные и отрицательные слагаемые можно различить с помощью метода, описанного ранее.

8. Рассчитываем значения элементов в случае четырехполюс­ника произвольной структуры аналогично п. 6.

Представленный способ синтеза четырехполюсника средствами ЭВМ позволяет учесть различные критерии оптимизации схемы, что служит одним из достоинств описываемого метода. Если, например, принять k > 0, а значит, k = 1, 2, 3, 4 и т. д., то получим другие значения элементов схемы, благодаря чему можно ввести новые связи, определяющие, например, равенство всех индуктивностей или конденсаторов, заданный разброс пара­метров составных элементов четырехполюсника, собственные поте­ри индуктивностей и конденсаторов, минимальную суммарную индуктивность схемы и т. д.

Часто удобно принять

Тогда получим граф (мультиграф) с минимальным цикломатическим числом. Благодаря этому допущению можно создать новые, часто более удобные структуры графов. Mожно также рассмотреть и те схемы, которые в результате про­веденного синтеза имеют некоторые отрицательные элементы. Такая схема может быть выполнена только при использовании активных элементов.

Достоинства представленного метода синтеза четырехполюс­ника средствами ЭВМ можно кратко сформулировать следующим образом:

1. Общность метода, заключающаяся прежде всего в том, что он не накладывает никаких ограничений на структуру схемы.

2. Возможность определения множества схем, реализующих поставленную задачу синтеза.

3. Возможность учета разных критериев оптимизации схемы (например, минимального цикломатического числа, минималь­ного числа ветвей, равенства всех индуктивностей, собственной добротности элементов, учет разброса параметров элементов и т. д.).

Данный метод дает также возможность для даль­нейших обобщений. Например, с помощью этого метода можно упростить процесс синтеза сложной цепи путем ее разбиения на отдельные подсхемы. С этой целью можно использовать резуль­таты, представленные ранее. Эта проблема, однако, требует дальнейших исследований и здесь не рассматривается.

Остановимся на проблеме исключения цепей, графы которых не имеют сильносвязной структуры. Сильносвязные (или соб­ственные) графы были рассмотрены ранее. С помощью метода блочных групп граф такого типа можно определить, пользуясь известным свойством. Согласно этому свойству, граф имеет сильносвязную структуру тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:

где А — блочная группа, для которой рассматриваемый граф служит геометрическим изображением.

На рис. 9 дан пример четырехполюсников, структуры кото­рых не сильносвязны и которые должны быть исклю­чены в процессе синтеза.

Рис. 9. Четырехполюсники не сильносвязной структуры.

Нетрудно проверить, что графы (рис. 9) не удовлетворяют условию (62). Очевидно, что это условие может быть легко запрограммировано на ЭВМ. Поэтому уже в процессе поиска блочных групп можно исключить ненужные графы.

Процесс синтеза четырехполюсника можно значительно упро­стить, если некоторые операции, предусмотренные представлен­ным алгоритмом, будут выполнены не машиной, а человеком. Так, например, если определить схему четырехполюсника, сразу ориентируясь на определенную структуру, например лестничную или мостовую, то процесс машинного синтеза значшельно упро­щается, так как не нужно находить блочные группы и исклю­чать ненужные графы.

Такой упрощенный полуавтоматический метод синтеза может иметь большое применение, например, для проектирования элек­трических фильтров. Ниже приведены результаты расчетов трех простых RLC-фильтров, спроектированных при помощи ЭВМ. Синтез этих фильтров был приведен упрощенным методом, в котором разработчик сразу определил структуру проек­тируемой схемы.

При разработке программы для ЭВМ было принято допуще­ние, что в каждой ветви схемы находится только один элемент, благодаря чему получено некоторое упрощение по сравнению с общим методом синтеза RLC-четырехполюсников. Для получе­ния минимального числа индуктивностей фильтров использовано свойство, описанное ранее. Произведение простых блочных групп также было рассчитано непосредственно без помощи машины. Естественно, что при более сложной схеме можно запро­граммировать операцию умножения блочных групп цифровой машиной, и тогда расчет фильтра сводится к очень простой опера­ции, так как почти весь процесс проектирования будет выполнен машиной.