Дискретно-непрерывная математика (стр. 30 )

(: → А) ≡ (: → А), А kA. (56)

Это означает, что геометрическое изображение блочной группы k-го ранга kA есть граф, представляющий собой изображение замещающей блочной группы А (А kA), а также что данный граф служит изображением и всех других блочных групп ранга

k > 1, которые имеют ту же самую замещающую блочную группу. Известно, что преобразование пространства конечных блочных групп первого ранга в пространство конечных графов не является непрерывной функцией, поэтому не каждая блочная группа k-го ранга имеет геометрическое изображение. Очевидно, для существования геометрического изображения блочной группы k-го ранга необходимо и достаточно суще­ствование геометрического изображения ее замещающей блочной группы.

Для существования геометрического изображения блочной группы недостаточно существования изображений ее эле­ментов. Например, блочная группа второго ранга

не имеет геометрического изображения, несмотря на то что все его элементы обладают такими изображениями, так как ее заме­щающая блочная группа

А =

не имеет изображения. Наоборот, блочная группа второго ранга

обладает геометрическим изображением, так как ее заме­щающая блочная группа

А =

имеет изображение, хотя оба ее элемента таких изображений не имеют. С точки зрения использования алгебры блочных групп в теории систем важны блочные группы k-го ранга kA, имеющие геометрическое изображение и построенные из блочных групп, которые также имеют гео­метрическое изображение. В этом случае геометрическое изобра­жение блочной группы kA может рассматриваться как иерархическое изо­бражение, состоящее из подизображений, которые в свою оче­редь тоже могут быть иерархическими изображениями. Подробно этот вопрос будет рассмотрен в последующах разделах.

7.3. Правила организации контурных графов

Для произвольного контурного графа Г, состоящего из ребер α1, α2, . . ., αk, можно написать

Ad [α1α2 . . .αk] = 0, (57)

где Ad = С1С2 …Cm — дополнительная блочная группа графа Г. Это равенство следует из того, что однострочняя блочная группа

[α1α2 . . .αk]

равна одной из блочных групп С1, С2, … ., Ст, представ­ляющих собой первичные сомножители блочной группы Ad, или сумме неко­торых из этих блочных групп.

Заменим в выражении (57) дополнительную блочную группу Ad блочной группой А графа Г. Для этого запишем ее в следующей форме:

(Аd[α1α2 . . .αk])d = 0

или

(Ad[α1]+Ad[α2]+ ...+ Ad [ αk])d = 0,

тогда

((Ad [α1])d + (Ad [α2])d + ... + (Ad [αk])d) = 0.

Так как дА/дα = (Ad [α])d, то последнее выражение представим в виде

(58)

(59)

или

Пример 4. Блочная группа графа, изображенного на рис. 1, равна

А =[1 2] [2 3 4] [4 5].

Рис. 1.

Для контура из ребер 1, 2, 3 имеем

Если обозначения ребер произвольного контура графа записать как столбцовую блочную группу

(61)

то можно убедиться, что

(62)

а также

(63)

Равенство (62) непосредственно следует из определения дере­ва, согласно которому дерево не содержит контуров; равенство же (63) следует из тождества

[α1α2 . . .αk]

Соотношения (57) — (60) будем называть прави­лами организации контуров (структур) графа. Эти правила представляют собой, например, топологические эквиваленты второго закона Кирхгофа для организации контуров (структур) электриче­ских цепей.

7.4. Правила организации сечений графа

Для произвольного сечения графа Г топологической сферой, пересекающей его ребра α1, α2, . . ., αр, справедливо равенство

А [α1, α2, . . ., αр] =0, (64)

где А = P1P2 . . . Рт — блочная группа графа Г. Это равен­ство следует из того, что однострочная блочная группа

[α1, α2, . . ., αр]

равна одной из блочных групп Р1, Р2, . . ., Рт, представ­ляющих собой простые сомножители блочной группы А или сумму некото­рых из них. Аналогично прави­лу организации контуров (структур) графа (59) можно полу­чить следующие выражения:

(65)

или

, (66)

где Ad — дополнительная блочная группа графа Г.

Пример 5. Для сечения р графа топологической сферой, изображенного на рис. 2, на основании формул (64) и (65) запишем

А [1] + А [2] = 0, т. е. А[1]=А[2],

а также

т. е.

где А и Ad — блочная группа и дополнительная блочная группа графа.

Рис. 2. Сечение графа топологической сферой.

Если обозначения ребер α1, α2, . . ., αр сечения графа Г записать в виде столбцовой блочной группы

(67)

то убедимся, что

(68)

а также

(69)

Эти соотношения непосредственно следуют из того, что блочная группа несвязного графа равна нулю.

Выражения (64) — (66), (68) и (69) будем называть прави­лами выполнения сечений графа. Эти правила, как пример, представляют собой топологиче­ские эквиваленты первого закона Кирхгофа для структур электрических цепей.

7.5. Блочная группа графа с замкнутыми вершинами

Правила организации контурных графов позволяют найти блочную группу графа с двумя произвольными замкнутыми вершинами μ1 и μ2. Пусть произвольный путь, соединяющий вершины μ1 и μ2, состоит из ребер α1, α2, . . ., αd. Тогда на основании правила организации контурных графов (60) блочная группа замкнутого графа равна

= (70)

где А — блочная группа незамкнутого графа. Согласно выраже­нию (57), дополнительная блочная группа замкнутого графа имеет вид

= Аd [α1α2 . . .αd], (71)

где Аd — дополнительная блочная группа незамкнутого графа.

Пример 6. Рассчитаем блочную группу при замы­кании вершин μ1 и μ2 в графе рис. 3.

Рис. 3.

Блочная группа незамкнутого графа А = [1 2] [2 3 4] [4 5], поэтому

= = [2 3 4] [4 51+ [1 2] [2 3 4] = [2 3 4] [1 2 4 5].

Тот же самый результат получим, выбирая другой путь между вершинами μ1 и μ2.

Рассмотрим случай замыкания нескольких вершин графа. Обозначим через произвольный путь, соединяющий верши­ны μi и μj (рис. 4).

Рис. 4. Пути в графе,

Если этот путь состоит из ребер α1, α2, . . ., αd , то

= [α1α2, . . . αd]= . (72)

Замкнем в графе Г вершины μ1, μ2, . . ., μk. Обозначим блочную группу замкнутого таким образом графа. Рассматривая поочередное замыкание вершин для блочной группы , получим