Дискретно-непрерывная математика (стр. 66 )

Рис. 5.

Такая структура довольно часто встре­чается в практике. Однако можно сформулировать более общий алгоритм, позволяющий определять знаки функции совпадения любой схемы. Такой алгоритм приведен ниже.

Блочную группу, соответствующую графу (мультиграфу), в котором закорочены два узла μ и v, обозначим Aμv. Тогда

(43)

где w — число вершин графа (узлов). Обозначим блочную группу, полученную из блочной группы А путем исключения в ней всех столбцов, содержащих любой из элементов γ1, γ2,. . ., γі. Очевидно, что

(44)

Теорема 4. Каждый член функции совпа­дения будет иметь знак плюс, если z

(45а)

или знак минус, если

(45б)

Доказательство этой теоремы основано на следующих положе­ниях:

1. После исключения ветвей γ1, γ2,. . ., γі в графе, изобра­жающем блочную группу А, этот граф переходит в граф, содержащий только один цикл, проходящий через ветви α и β. В зависимости от знака члена в графе блочной группы этот цикл сохраняется или исчезает (рис. 4, в и г).

2. Для любой блочной группы В имеет место следующая формула

Практическое применение теоремы 4 проиллюстрируем на сле­дующем примере.

Пример 2. Определить знаки функции совпадения для схемы, приведенной на рис. 6.

Рис. 6.

Имеем

А = [1 4 6] [2 4 5] [1 3 5],

Аμν = ([1 4 6] + [2 4 5]) [1 3 5] = [1 2 5 6] [1 3 5],

откуда

После определения дополнительной блочной группы Ad находим

Далее определяем производные

Получаем

а также

Теперь, пользуясь формулами (18), можно определить характеристические функции рассматриваемого четырехполюсника, например рабочее затухание:

Очевидно, что при анализе схемы знаки функции совпадения можно легко определить путем рассмотрения ориентации ребер α и β в цепи. Однако при синтезе схемы при помощи ЭВМ такой подход не применим.

10.2.3. Синтез четырехполюсника средствами ЭВМ

Метод синтеза RLC-четырехполюсника при помощи ЭВМ пояс­ним следующим примером.

Пример 3. Пусть дан четырехполюсник (рис. 7).

Рис. 7.

Его эле­менты определим таким образом, чтобы передаточная функция комплексной частоты s=σ+jω определялась выражением

(46)

На основе приведенных формул имеем

После простых расчетов получаем

а также

Умножая числитель и знаменатель формулы (46) на s-2 и дополняя их нулевыми членами таким образом, чтобы передаточная функция стала симметричной относительно степеней комплексной частоты s, получим

Если принять

zi = Ri, z2= R2, , z4 = sL4, ,

то

Функция совпадения равна

С другой стороны,

откуда для определения значений неизвестных величин элементов четырехполюсника получаем уравнения

R1R2R4=2,

R1L4C-15+ R2L4C-13=4,

R1R2 C-13+ R1R2 C-15+ L4 C-13 C-15== 4,

R1 C-13 C-15+ R2C-13 C-15=2.

C-13 C-15=1.

Решение последних уравнений дает

R1= R2 = 1 ом, С3 = С5 = 1ф, L4 = 2 гн.

Таким образом, мы определили схему с передаточной функ­цией (46) и структурой, показанной на рис. 7.

Рис. 7.

Этот пример поясняет способ синтеза четырехполюс­ника методом блочных групп. Далее проведем обобщение этого метода. С этой целью рассмотрим передачу стандартного вида (20)

Очевидно, некоторые коэффициенты aі, а также bі функции Ks могут быть равными нулю, как это было показано в последнем примере. Число нулевых коэффициентов можно определить с по­мощью следующей формулы:

(47)

где и — числа, определяющие порядок числителя и знаме­нателя функции (19). В этом рассуждении мы приняли допу­щение, что все коэффициенты сі и dі функции (19) отличны от нуля.

Допустим, что каждая (внутренняя) ветвь четырехполюсника представляет собой последовательное соединение резистора, индуктивности и конденсатора. Тогда импеданс zі произвольной внутренней ветви четырехполюсника запишется в виде

zі = sLі + Rі + s-1Сi-1 (i ≠α, і≠ β). (48)

Для ветвей α и β имеем

zα = R1, zβ= R2,

где величины резисторов R1 и R 2 заранее известны. Введем сле­дующие обозначения: b — число ветвей графа, w — число вер­шин графа, М — цикломатическое число графа, равное количе­ству линейно независимых контуров.

В соответствии с формулой Эйлера для произвольного графа или мультиграфа

b — w + 1 =М. (49)

При этом заметим, что порядок функции det Ad равен п.

Z

В результате получаем

М = п и b — w + 1 =п. (50)

Так как число уравнений, которые можно составить для опре­деления элементов схемы, равно количеству коэффициентов рацио­нальной функции (20), т. е.

(2n + 1) + (2n — 1) = 4n,

а число неизвестных элементов равно 3(b — 2), то должно выпол­няться следующее неравенство:

3 (b - 2) ≥4n. (51)

Учитывая это неравенство в равенствах (50), получим фор­мулу для оценки числа вершин графа:

w≥(n/3) + 3. (52)

Так как количество простых множителей блочной группы А равно т =w — 1, имеем

т=Е(n/3) +3 + k; k = 0, 1, 2, ..., (53)

где Е (х) обозначает целую часть от х.

Число ветвей b графа может быть определено с помощью выражения

b =Е(n/3) +3+п + k; k = 0, 1, 2, ..., (54)

Если в последней формуле принять k = 0, то получим мини­мальное количество ветвей графа, которое зависит от числа п. Вводя такое допущение, оптимизируем схему по числу ветвей.

Самые общие приемы, используемые при синтезе четырех­полюсника на ЭВМ с помощью описанного метода, можно сформу­лировать в следующем виде:

1. Принимаем, что число простых множителей блочной группы А равно п=Е(n/3) +3, и рассматриваем множество ветвей

В ={1, 2, . . ., b}; b = т + п,

на основании которого (в соответствии с определенной програм­мой ЭВМ) находим все возможные блочные группы

Аi= Рi1Рi2 … . Pim; i= 1, 2, ..., (55)