Дискретно-непрерывная математика (стр. 12 )

Таким образом, компонентное уравнение YДηY = ξY для рас­сматриваемой системы запишется следующим образом:

Матрицы

найдем суммированием строк и столбцов компонентной матрицы Yд:

Определив вектор J по формуле

получим уравнение сечений рассматриваемой системы:

Ему соответствует система четырех дифференциальных урав­нении:

3.8. Узловые уравнения

Простейшую (каноническую) систему сечений связного (р, q)-графа образуют р — 1 центральных раз­резов , причем можно считать, что она определяется звездным деревом, состоящим из разомкнутых дуг с центром в базисной вер­шине (рис. 3.8, а).

Рис. 3.8. К определению канонической системы сечений:

а — звездное дерево из разомкнутых дуг; б — узловые продольные пере­менные.

Ясно, что введение в граф разомкнутых дуг не нарушает значений переменных и их роль сводится только к фик­сированию некоторой совокупности продольных переменных. Ра­зомкнутые дуги звездного дерева фиксируют узловые продольные переменные, которые направлены от базисной вершины к остальным вершинам графа (рис. 3.8, б) и образуют вектор

При этом дуги полюсных графов всех компонентов оказываются в дополнении.

Топологическое уравнение в канонической системе сечений запишется следующим образом:

где А0— сокращенная матрица инцидентности.

Так как то имеем

Справедливо также соотношение

которое наряду с компонентным уравнением

используется для получения уравнений сечений.

Таким образом, в канонической системе сечений роль матрицы II играет матрица инцидентности Ао, т. е. матрично-векторные параметры уравнения Yξ = J выражаются формулами:

где Ay и АJ — субматрицы, образованные из столбцов матрицы Ао, соответствующих полюсным графам компонентов (y-дугам) и источникам поперечных величин (j-дугам).

Правила записи матрично-векторных параметров в этом случае существенно упрощаются, так как каждая дуга инцидентна не более, чем двум сечениям (дуги, связанные с базисной вершиной, инци­дентны только одному сечению). Вместо сечений можно рассмат­ривать вершины графа (положительным направлением является направление от вершины). В связи с этим уравнения в канонической системе сечений называют также уравнениями вершин или узловыми уравнениями.

Если, наряду с y-дугами, граф содержит только дуги источни­ков поперечных величин (j-дуги), то каноническая система сечений однозначно определяется выбором базисной вершины и нумерацией остальных вершин. Компонентам вектора ξT (узловым продольным величинам) присваиваются номера соответствующих им вершин. При непосредственной записи матрично-векторных параметров удобно вместо нумерации дуг обозначать их собственные параметры yii. Взаимные параметры yij обозначаются рядом со стрелками, направленными от i-й к j-й дуге. Пусть, например, в транзисторной

схеме (см. рис. 2.5, а) вместо источника напряжения действует источник тока j(t).

Рис. 3.9. Граф транзисторной схемы, используемый для записи: а — узловых уравнений; б — уравнений ячеек.

Тогда ее граф, подготовленный для записи узло­вых уравнений, будет выглядеть, как показано на рис. 3.9, а, а сами уравнения получаем в виде:

3.9. Уравнения ячеек

Для плоского графа, содержащего, наряду с z-дугами, дуги только источников продольных величин (е-дуги) каноническая система контуров определяется совокупностью ячеек. Ячейки и узлы являются взаимно дуальными понятиями, а матрица контуров для ячеек Во дуальна матрице Ао. Обычно принимают направления контуров, определяемых ячейками, по часовой стрелке, а роль базисной ячейки играет внешний контур графа (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Каноническая схема контуров (ячеек).

В связи с этим все соотношения и правила для математической модели в канонической системе контуров дуальны соответствующим соотношениям и правилам для канонической системы сечений.

Матрично-векторные параметры уравнение Zη = Е определя­ются формулами:

где BZ и BЕ — субматрицы, образованные из столбцов матрицы В0, соответствующих полюсным графам компонентов (z-дугам) и источникам продольных вели­чин (е-дугам). Вектор η = (η1, η2 ..., , ησ) содержит в качестве своих компонентов контурные поперечные переменные, которые связаны с ячейками (поперечная перемен­ная внешнего контура принимается равной нулю). Уравнения в си­стеме контуров называют уравнениями ячеек или контурными урав­нениями. Определив вектор η, остальные переменные находим по формулам

Для непосредственной записи матрицы Z и вектора Е достаточно пронумеровать ячейки и воспользоваться простыми правилами, которые вытекают из общих правил (3.5) с учетом того, что любая дуга графа инцидентна не более чем двум ячейкам, а дуги внешнего контура— только одной ячейке. Запишем, например, уравнения ячеек для транзисторной схемы (см. рис. 2.5, а) при воздействии на нее источника напряжения e(t). Граф, подготовленный для этой задачи, изображен на рис. 3.9, б, а сами уравнения получаем в виде:

Особенно просто записываются уравнения для систем, состоя­щих из двухполюсников. Например, для механической системы (см. рис. 1.7, а) в соответствии с ее графом (рис. 3.11),

Рис. 3.11. Граф механической системы, используемый для записи уравнений ячеек.

на котором указаны параметры в операторной форме, имеем:

Контурные силы fi (i = 1, 2, ..., 6) представляют собой услов­ные расчетные величины, через которые выражаются силы (реак­ции) двухполюсников. Например, сила двухполюсника М3 равна f4 – f3 и т. д.

3.10. Системы с двумя сторонами

Часто требуется получить математическую мидель системы, характеризующую ее относи­тельно двух сторон: входа, к которому приложено воздействие (независимый источник), и выхода, с которым связаны искомые величины (рис. 3.12, а).

Рис. 3.12. Схема с двумя сторонами:

а — с различными входными и выходными вершинами; б — с общей вершиной для входа и выхода.

При этом предполагается, что внутри самой системы независимые источники отсутствуют. Системы с двумя сторонами называют четырехполюсниками.

Входная и выходная стороны могут быть представлены внешними дугами, которые характеризуются соответственно входными —ηвх, ξвх и выходными ηвых, ξвых величинами (знак минус при входной поперечной величине ηвх появляется в связи с тем, что ее обычно принятое направление противоположно направлению входной дуга).

Внешние дуги связаны с графом системы (заштрихованная часть) парами входных и выходных вершин. Случай, когда вход и выход имеют общую вершину, показан на рис. 3.12, б.

Для получения уравнений относительно внешних величии в однородной системе сечений необходимо внешние дуги представить как дуги источников поперечных величин (j-дуги) и ввести их в дерево. Без потери общности внешние дуги можно расположить перед y-дугами графа. Тогда в уравнении сечений YξT = J, где

и, следовательно, имеем:

где, как и ранее в (3.4),

Записав решение этого уравнения относительно продольных внешних переменных по правилу Крамера, находим