Дискретно-непрерывная математика (стр. 17 )

В процессе преобразования 1 к единичной матрице в ней может появиться нулевая (вырожденная) строка, что препятствует завер­шению этого преобразования и является признаком зависимости дифференциальных переменных. Соответствующее этой вырожден­ной строке уравнение не содержит алгебраических переменных и про­изводных, а связывает только дифференциальные переменные и задающие функции времени. Оно и используется для исключения зависимых дифференциальных переменных из уравнений системы.

Проиллюстрируем исключение зависимых дифференциальных переменных на примере схемы рис. 4.8, а, ее граф изображен на рис. 4.8, б.

Рис. 4.8. Схема с зависимыми дифференциальными переменными (а) и ее граф (б).

Как видно, граф содержит особый контур с коротко-замкнутой управляющей дугой и источником напряжения (Е1, С1, С3, X1). Поэтому все емкостные дуги этого контура попали в дерево, хотя напряжение одной из них (иС1 или иС 3) зависимо (например,

иС3= иС1+e1(t)).По той же причине короткозамкнутая дуга X1 не может быть включена в дерево. Для выбранного фун­даментального дерева матрица сечений имеет вид:

Компонентная матрица имеет следующий вид:

Так как дуги всех безреактивных компонентов вошли в допол­нение, то субматрицы VUT и VIT (как и субматрица πXX) отсут­ствуют. Формируем блочную матрицу (штрихами отмечены произ­водные):

Здесь сразу же обнаруживается вырожденная строка, соответ­ствующая уравнению для X1 (ее элементы набраны жирным шриф­том), поэтому имеем зависимость

Исключим, например, переменную иС3= иС1+e1(t), что соот­ветствует прибавлению столбца для иС3 к столбцам для иС1 и e1(t). Для исключения производной и′С3 необходимо продифференциpoвать полученное соотношение, в результате чего возникает про­изводная по задающему напряжению, т. е.

Образовав для производной e′1(t) дополнительный столбец, необходимо столбец для и′С3 прибавить к столбцам для и′С1 и e′1(t). Итак, вырожденная строка дает информацию об операциях, которые необходимо выполнить по столбцам матрицы для исключения зависимостей переменной. Разумеется, после этого столбец исклю­чаемой переменной и вырожденную строку следует удалить из матрицы .

Пусть в нашем примере заданы следующие нормированные зна­чения параметров компонентой (значение управляющего параметра п будет дано позже):

Подставив эти значения в матрицу вместе с добавленным столбцом для e′1(t), после выполнения указанных операций над столбцами и удаления вырожденной строки, получим:

Применяя алгоритм исключения Гаусса-Жордана, приходим к матрице

(опорные элементы отмечены жирными цифрами ):

Дальнейший ход решения задачи зависит от численного зна­чения управляющего параметра. При n≠2 завершается процедура исключения с опорным элементом в последней строке. При п=2 имеем вырожденную строку, которой соответствует уравнение

Это свидетельствует о зависимости дифференциальных пере­менных, но здесь эта зависимость обусловлена не структурой схемы, а численными значениями параметров компонентов. По­этому ее естественно называть компонентной зависимостью пере­менных. Исключение компонентно зависимой переменной, например иС4, проводится тем же способом, что и при топологической зависимости, на основе уравнений

Вводя в матрицу дополнительный столбец для второй производной, после выполнения соответствующих операций над столб­цами (столбцы для иС4 и и′С4 прибавляются к другим столбцам с коэффициентами, определяемыми уравнениями для исключаемой переменной и ее производной) имеем:

Завершая процедуру исключения, получаем окончательно

Как видно, преобразовалась в матрицу, из которой можно получить единичную матрицу перестановкой строк и столбцов ( в нашем примере достаточно переставить столбец для iX6). В результате можно записать уравнения переменных состояния и выражение для алгебраических переменных:

Из рассмотренного примера видно, что особые контуры с короткозамкнутыми дугами (как и особые сечения с разомкнутыми ду­гами) сильно усложняют процедуру формирования уравнений пере­менных состояния. К счастью, подобные случаи в практике встре­чаются крайне редко.

4.11. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Приведите примеры многополюсных компонентов, наличие которых в физической системе приводит к необходимости использования неоднород­ного координатного базиса.

2. Изобразите процесс формирования матрицы

схемой, аналогичной указанной на рис. 4.1 для матрицы W,

3. Сформируйте уравнении системы (см. рис. 4.2) в неоднородном координатном базисе, включив в фундаментальный лес, наряду с

е-дугами 1, 2, 3, дуги 6 и 10. Сравните результат с полученным в (4.3) и объясните, по­чему матрица W получилась в нерегулярной форме.

4. Почему при формировании математической модели в неоднородном координатном базисе взаимоопределенные ветви дерева целесообразно представить как z-дуги, а взаимоопределенные хорды — как у-дуги?

5. Сформируйте уравнения в неоднородном координатном базисе для механической системы рис. 2.11.

6. Переменныеи называют соответственно зарядами сечений и потокосцеплениями контуров. Почему?

7. Покажите, что при отсутствии индуктивных связей вектор можно представить в виде:

В какой мере можно ослабить условие для индуктивных связей, чтобы это выражение еще было справедливо?

8. Запишите выражение для вектора при отсутствии особых контуров и сечений.

9. Выведите уравнения переменных состояния для электрической схемы (см. рис. 1.5, а).

10. Выведите уравнения переменных состояния для механической системы (см. рис. 1.7).

11. Сформируйте уравнения переменных состояния для электрической схемы (см. рис. 4.5) при заданных численных значениях параметров, вы­полнив все операции в скалярной форме без применения матриц, для чего:

а) составьте по законам Кирхгофа топологические уравнения для всех независимых сечений и контуров, определяемых выбранным фундаментальным деревом;

б) запишите полюсные уравнения для безреактивных компонентой схемы в неявной форме;

в) выразите напряжения безреактивных хорд и токи безреактивных ветвей дерева из уравнений сечений и контуров и подставьте их в полюсные уравнения;

г) решите систему полюсных уравнений относительно алгебраических переменных — напряжений ветвей дерева и токов хорд безреактивных компонентов;

д) выразите из топологических уравнений токи емкостных дуг и напря­жения индуктивных дуг и подставьте в эти уравнения найденные в предыду­щем пункте алгебраические величины;

е) воспользовавшись полюсными уравнениями реактивных компонентов замените токи емкостных дуг через производные их напряжений и напря­жения индуктивных дуг через производные их токов;

ж) исключите из системы уравнений для реактивных компонентов, полученных в предыдущем пункте, зависимые дифференциальные переменные — напряжения емкостных хорд и токи индуктивных ветвей дерева;

з) запишите уравнения переменных состояния и сравните их с полученными в (4.7).

12. Объясните причины отсутствия некоторых субматриц в матрице сече­нии для графа, изображенного на рис. 4.6, в.

13. Введите в граф (рис. 4.6, в) короткозамкнутую дугу, фиксирующую входной ток iвх и получите уравнения переменных состояния и выходное уравнение.