Дискретно-непрерывная математика (стр. 24 )

А = Р1,Р2 . . . Рr. (30)

В случае, когда А сама будет простой блочной группой (не равной единице), произведение сводится к одному сомножителю. Раз­ложение блочной группы А на простые блочные группы запишем тогда в следующем виде:

А (31)

Заметим, что блочные группы имеют следующие свойства:

1. Любая блочная группа, состоящая из разных (неповто­ряющихся) элементов и содержащая более одного столбца, есть простая блочная группа.

3. Каждая блочная группа, состоящая из одной строки, простая.

3. Каждая блочная группа, состоящее из одного столбца, сложная (п > 1).

4. Сумма простых блочных групп может быть сложной блочной группой, сумма сложных блочных групп может быть простой блочной группой.

Пример 5.

В данном примере, суммируя вначале две простые блочные группы, получаем сложную блочную группу; затем, суммируя сложную блочную группу, получаем простую блочную группу. Следствием второго свойства блочных групп является то, что множество простых блочных групп бесконечно, если бесконечно множество X, из которого взяты элементы блочных групп. Раз­ложение блочных групп на простые имеет специфические особенности, отличные, например, от особенностей разложения в области натуральных чисел. Одна из этих особенностей рассма­тривается в следующем утверждении.

Утверждение 8. Каждая сложная блочная группа имеет бесконечное множе­ство способов разложения на простые блочные группы.

Доказательство. Положим, что А = Р1,Р2 . . . Рr. Легко заметить, что величина этого произведения не изменится, если любую из блочных групп Pі дополнить столбцами, содержащими некоторые элементы всех столбцов одного из оставшихся сомножителей.

Так как число таких возможных дополнений бесконечно, то каждая сложная блочная группа может быть разложена на простые бесконечно большим числом способов.

Пример 6.

[1] [2] = [1] [2 1] = [1] = [1] = …

Рассмотрим свойства блочных групп с одинаковым числом элементов в строках и одинаковым числом элементов в столбцах, которые представляют наибольший интерес для применения алгебры блочных групп в анализе и синтезе систем.

Определение 4. Разложение блочной группы с одинаковым числом элементов в строках на простые блочные группы также с одина­ковым числом элементов в строках, содержащих только элементы блочной группы А, называется каноническим разложением.

Очевидно, что каждая сложная блочная группа с равным числом элементов в строках имеет конечное число канонических разложений. Это имеет большое практическое значение, напри­мер, в случае применения алгебры блочных групп к синтезу структур.

Утверждение 9. Если блочная группа с одинаковым числом элементов в строках А≠0 (с m строками) имеет каноническое разложение

(32)

то все остальные канонические разложения блочной группы А на простые однострочные блочные группы имеют вид

(33)

где числа εij принимают только значения 0 или 1.

Доказательство. Положим, существует разложение

отличное от (32). Тогда, перемножая А и любое P′j, получим

АP′j= P′j

Далее, P′j = (Р1Р2 . . . Рт)*j, т. е. P'j — сопряженный элемент по отношению к Однако можно заметить, что в классе однострочных блочных групп Pі справедливо соотношение

(Р1Р2 . . . Рт)*j= εij=0, 1. (34)

Тогда, действительно,

.

Непосредственно из утверждения 9 следует, что двустрочная сложная блочная группа имеет лишь три возможных канони­ческих разложения на однострочные блочные группы

А = Р1Р2 = Р1 (Р1 + Р2) = Р2 (Р1 + Р2). (35)

Несмотря на то, что известен общий вид канонического раз­ложения, определение общего числа возможных канонических разложений т-строчного сложной блочной группы — доволь­но трудная комбинационная задача.

Утверждение 10. Число возможных канонических разложений отличной от нуля сложной блочной группы с т строками на однострочные сомножители удовлетворяет неравенству

(36)

где k = т (т —1).

Доказательство. Если блочная m-строчная группа не имеет разложения на однострочные сомножители, неравенство (36) полностью удовлетворяется. В случае когда имеется воз­можное разложение, она имеет вид (33).

На основе этого разложения можно выделить (т — 1)2 + 1 множеств разложений блочных групп А, ставя в соответствие каждому отдельному множеству те разложения, которые имеют одинаковое число нулевых блочных групп εij. В общем в выражении (33) имеем т2 блочных групп εij, причем нулевое значение может одновременно при­нимать не более чем

k = т2 — т = т (т — 1) блочных групп εij. С дру­гой стороны, нулевое значение должно иметь минимум т — 1 блочных групп εij, так как в противном случае в разложении (33) имелись бы идентичные сомножители и А = 0. Обозначая через е число нулевых значений εij, имеем неравенство

т — 1≤ e ≤т (т — 1) = k.

Таким образом, ∆е выделенных множеств разложений блочных групп А равно

∆е = (т - 1) т - (т - 1) + 1 = (т - 1)2 + 1.

6.3. Геометрическое изображение блочной группы

До сих пор мы рассматривали блочные группы как эле­менты переменного кольца и его общие свойства, исходя из опре­деления действий сложения, умножения и т. д. Дадим геометрическую интерпретацию блочной группы. Отме­тим, что геометрическая интерпретация встречается также и в дру­гих случаях, например в случае комплексных чисел, которым ставятся в соответствие некоторые точки плоскости Гаусса.

Геометризация блочной группы имеет для нас значение прежде всего для ее применения при отображении графов блочными группами.

Определение 5. Если столбцы блочной группы А взаимно однозначно соответствуют деревьям графа Г так, что каждый столбец представляет собой множество значений описывающей функции соответствующего дерева, то граф Г называется геоме­трическим изображением блочной группы А и записывается в виде

Г = оb (А). (37)

Следовательно, геометрическим изображением блочной группы А служит любой детерминированный граф, удовлетворяющий условию (37), или класс графов подобных структур. Из приня­того определения следует, что геометрическое изображение блочной группы — не однозначное понятие, так как блочной группе может соответствовать многоэлементное семейство графов, составляющих класс с подобной структурой. Однако это в известном смысле может явится достоинством метода, так как становится возможным, например в задачах синтеза систем, нахождение не одного, а множества вариантов систем, удовлетворяющей заданным условиям.

Не каждая блочная группа изображается связным графом — топологической цепью. Определение условий, при которых суще­ствует изображение блочной группы в виде связного графа, имеет принципиальное значение для применения метода моделирования систем с использованием блочных групп. Эти условия будут сформулированы в утверждении 12.

Утверждение 11. Блочная группа А с одинаковым числом эле­ментов в строках, геометрическим изображением которого служит связный граф с вершинами р1, р2, . . ., рп, равна произведению п — 1 простых однострочных сомножителей

А = Р1Р2. . .Рп-1 (38)

причем сомножители состоят из значений описывающей функции ребер, инцидентных произвольно выбранной вершине pі (pі ≠ pj, если i ≠ j) графа Г.

Доказательство. Равенство (38) справедливо в слу­чае графов с одной и двумя вершинами. Рассмотрим произвольный связный граф с п вершинами. Соединим в нем две произвольные вершины ребром αk. Положим, что выражение (38) справедливо для образованного таким образом графа Г*, т. е. что блочная группа равна

а* = (Р1 + Р2) Р3... Рп-1 = (Р'1 + Р'2) а**,

где

Р1 = Р'1 + [αk], Р2 = Р'2 + [αk].

Найдем блочную группу

А' = P1P2A** = (Р'1 + Р'2) А**[αk]+ Р'1Р'2А** =А* [αk]+A′′. (39)

Блочную группу А графа Г с несоединенными верши­нами и висячим ребром αk можно представить в виде

А = А* [αk]+ A0, (40)

поскольку множество деревьев графа Г* (с замкнутым ребром αk), дополненное элементом αk, представляет собой множество всех деревьев графа Г с ребром αk. В выражении (40) символ А0 обозна­чает блочную группу, составленную из всех столбцов блочной группы А, не содержащих αk. Просуммировав равенства (39) и (40), получим