Дискретно-непрерывная математика (стр. 60 )

разных деревьев, схемы которых изображены на рис. 2.

В этих схемах замкнутые ключи представлены в виде отрезков, разомкнутые ключи не показаны.

Определение 2. Величиной Dd дерева схемы ZI будем назы­вать произведение проводимостей ветвей исходной схемы, представ­ленных замкнутыми ключами дерева d схемы ZI:

, (2)

где уdі — проводимость ветви рассматриваемой схемы, представ­ленной замкнутым ключом в дереве d схемы ZI; v — число узлов схемы ZI.

Например, величину Da дерева, показанного на рис. 2, а,

представим

Da = у2у3у4.

Если в схеме ZI замкнем два узла, то получим новую схему, которую назовем производной схемой ZI. В производной схе­ме ZI деревья создаются так же, как в первичной схеме ZI. На рис. 3 представлена производная схема ZI, полученная в результате замыкания узлов α и γ в первичной схеме ZI (рис. 1, б); на рис. 4 представлены изображения всех деревьев производной схемы.

Рис. 3. Схема производной цепи ZI, образованной в ре­зультате замыкания узлов α и β исход­ной цепи рис. 1, б.

Рис. 4. Схемы деревьев производной цепи ZI (исходная цепь — рис. 3).

9.4.1.2. Анализ пассивных схем

Проводимость Yμv, измеренную между узлами μ и v рассма­триваемой электрической цепи, можно рассчитать по формуле

(3)

где Dd — величина дерева d схемы ZI; T — число деревьев схе­мы ZI; D'd- — величина дерева d' производной схемы ZI, полу­ченной в результате замыкания в первичной схеме ZI узлов μ и v; Т' — число деревьев производной схемы ZI.

Например, проводимость Yαγ, измеренная между узлами α и γ электрической схемы (рис. 1, а), рассчитывается следую­щим образом на основании деревьев, изображенных на рис. 2 и 4:

Для определения величин напряжений ветвей рассматриваемой электрической схемы следует в деревья схемы ZI включать заме­щающие источники, соответствующие источникам напряжений и токов электрической схемы. Например, на рис. 5 приведены все деревья схемы ZI, показанной на рис. 1, б, с включенными источниками.

Рис. 5. Схемы деревьев цепи ZI (исходная цепь — рис., б) с источ­никами напряжения и тока.

На дереве с источниками определяем или измеряем межузло­вые напряжения и токи в ключах. Заметим, что эти напряжения и токи являются алгебраической суммой соответствующих напря­жений и токов источников.

Напряжение Uk ветви k, соединяющей узлы μ и v, рассматри­ваемой схемы (рис. 6), рассчитываем по формуле

(4)

где Dd = — величина дерева d схемы ZI; ydi — проводимость ветви, представленной замкнутым i ключом в дереве d; v — число узлов схемы ZI; T — число деревьев схемы ZI; udμν — напряжение между узлами μ и v дерева d с включенными источ­никами; idk — ток в ключе k дерева d с включенными источниками (если в дереве d нет замкнутого ключа k, то idk = 0); ydk — про­водимость ветви k.

Рис. 6. Схема части дерева Dd с независимыми источниками и обозначе­нием напряжения и тока k-й ветви (вы­ключатель); в этом случае udμν = Еk; idk = І1.

Например, напряжение U3 ветви электрической схемы (рис. 1, а) рассчитываем по формуле, полученной из рассмо­трения деревьев с источниками, представленных на рис. 5:

Аналогично формула для напряжения U4 ветви у4 (рис. 1, а), полученная из рассмотрения деревьев, изображенных на рисг. 5, имеет вид

Если в схеме присутствуют только источники э. д. с, то формула для напряжения между произвольными узлами μ и v схемы имеет вид

(5)

Эта формула справедлива для узлов μ и v, не соединенных непосредственно ветвью. Например, если принять, что в схеме (рис. 1, а) токи I1= I2 = I3 = 0, то напряжение между узла­ми α и γ будет равно (рис. 5)

Uαγ = [(у2у3у4 + у1у2у3 + у2у3у5) Е2 + у2у4у5 (Е2 — E4) +

+ у1у3у4 Е4]: (у2у3у4 + + у1у2у3 + у2у3у5 + у1у4у5+ у2у4у5+

+ у1у3у4 + у1у3у5 + у1у2у4).

9.4.1.3. Анализ активных цепей

Пользуясь переключающей схемой ZI, можно ана­лизировать также активные схемы с управляемыми источниками.

Для схемы с управляемыми напряжением источниками напряжения (риc. 7, а) формула для расчета напряжения имеет вид

U = L/M, (6)

где

(7)

(8)

Т — число деревьев схемы ZI; Dp — величина р-го дерева; ир, upi, upj, upk — напряжения между соответствующими узлами дерева р с поочередным включением источников (рис. 7, б) (следует обратить внимание на противоположное направление источников, имитирующих управляемые источники); npi — число четных перестановок элементов множества {| Е |, | si |}, полу­ченного подстановкой в множество {|ир|, |upi|} соответствую­щих абсолютных величин напряжений, измеренных на дереве р; прij — число четных перестановок элементов множества {| Е |, | si |, | sj |}, полученного подстановкой в множество {| ир|, | иpi |, | upj |} соответствующих абсолютных величин напряже­ний, измеренных на дереве р; п'рij — число четных перестановок элементов множества {| si |, | sj |}, полученного подстановкой в множество {| upi |, | upj |} соответствующих абсолютных вели­чин напряжений на дереве р, и т. д.

Рис. 7. Активная цепь с управляемыми напряжением зависимыми источниками напряжения: а) молуль-схема цепи; б) схема деревьев Dp, Dr, Dt цепи ZI с источниками (зависимые источники с обратной полярностью).

Отдельные слагаемые сумм в выражениях (7) и (8) записываются по приведенным ниже правилам. Введем следую­щие обозначения (рис. 7):

А — множество деревьев схемы ZI;

А μv — множество деревьев схемы ZI с замкнутыми узлами μ и v;

— множество деревьев схемы ZI с замкнутыми пара­ми узлов μ и v, а также μ 1 и v1;

— множество деревьев схемы ZI, в которой отключен от узла один зажим ключа αе;

— множество деревьев схемы ZI, в которой отключены от узлов отдельные зажимы ключей αе и αsі,

— множество деревьев схемы ZI с замкнутыми верши­нами μ и v, а также с отключенным зажимом ключа αе и т. д.

Используя эти обозначения, можно доказать, что в выражениях (7) и (8) слагаемое ир появляется только для величины деревьев, содержащихся в множестве

;

слагаемое upupi появляется только для величин деревьев, содер­жащихся в множестве

слагаемое upupiupj появляется только для величин деревьев, содержащихся в множестве

слагаемое upupiupjиk появляется только для величин деревьев, содержащихся в множестве

слагаемое upi появляется только для величин деревьев, содержащихся в множестве

слагаемое upiupj появляется только для величин деревьев, содер­жащихся в множестве

Это oзначает, что для каждого дерева Di отдельные слагаемые сумм появляются только в случаях, когда соответствующие пре­образования дерева Di, приведенные выше, дают также деревья схемы ZI.

На основании формулы (6) проводимость Yμv схемы, изме­ренная между любыми узлами μ и v, рассчитывается по формуле