Дискретно-непрерывная математика (стр. 55 )

Z1b — выходной импеданс трансформа­тора в режиме холостого хода на входе;

Z0 — импеданс нагрузки на выходе трансформатора.

Такой же результат можно получить, используя формулу (19), если принять, что Z3a →∞, Z2a = Z2b = Z0, Z2ab =0.

Пример 5. Рассчитать импеданс между полюсами μ1 и μ3 модуль-схемы (рис. 8, а), модуль-граф Г которой показан на рис. 8, б, а его скелет Г0 — на рис. 8, в (сплошные линии).

Рис. 8.

Блoчная группа 2А графа Г равна

Блoчная группа графа , образованного в резуль­тате замыкания узлов μ1 и μ3 графа Г, имеет вид

Таблица порядков блoчной группы 2А не содержит повторяющихся столбцов, но таблица порядков блoчной группы

имеет два одинаковых столбца (обозначенные X); поэтому допол­няем скелет Г0 ребрами d1 и d2 (указаны на рис. 8, в пунктиром). В результате

Блoчную группу запишем в виде

,

где

.

Следовательно,

Таким образом, импеданс схемы

(21)

Обозначения отдельных импедансов трехполюсников W1 и W2 в выражении (21) указаны на рис. 9.

Рис. 9.

Пример 6. Рассчитать входной импеданс цепной схемы с бес­конечно большим числом одинаковых четырехполюсников.

Рассмотрим цепную схему с п-одинаковыми четырехполюсни­ками (рис. 10, а). Скелет Г0 модуль-графа Г показан на рис. 10, б.

Рис. 10.

Обозначим А(1) — блoчную группу первого модуля графа Г, a An-t — блoчную группу графа Г без первого модуля.

Блoчная группа 2Ап полного графа равна

Таблица порядков этой блoчной группы второго ранга не содержит одинаковых столбцов; следовательно, определитель матрицы полных проводимостей ∆п рассматриваемой схемы имеет вид

∆п = ∆n-1∆b +∆п-1а∆,

где ∆n-1 — определитель матрицы проводимостей цепной схемы с п — 1 одинаковыми четырехполюсниками; ∆п-1а — определи­тель матрицы проводимостей схемы с п — 1 четырехполюсниками; ∆ — определитель матрицы проводимостей каждого четырехпо­люсника схемы; ∆b — определитель матрицы проводимостей каж­дого четырехполюсника с замкнутым выходом.

Если первый четырехполюсник схемы замкнут на входе, то из приведенного уравнения следует формула для определителя ∆па матрицы проводимостей замкнутой на входе схемы с п модулями

∆па = ∆n-1∆аb +∆п-1а∆а.

Напишем входной импеданс Zna схемы

(22)

где Za — входной импеданс четырехполюсника;

Zb — выходной импеданс четырехполюсника;

Zab — входной импеданс замкну­того на выходе четырехполюсника;

Zn-1a — входной импеданс цепной схемы п — 1 с одинаковыми модулями (четырехполюсни­ками).

Для n→∞ Zn-1a = Zna и, следовательно,

Решая это квадратное уравнение, получим

Z∞a = ½{Za-Zb+ [(Za - Zb)2 + 4ZabZb]1/2}. (23)

9.3.4. Коэффициент передачи напряжения модуль-схемы

Рассмотрим четырехполюсник, питаемый от идеального источ­ника напряжения Е (рис. 11).

Рис. 11. Четырехполюс­ник, питаемый от идеаль­ного источника напряже­ния.

Здесь отрезки а, b, с, d, e, f пред­ставляют собой произвольные пути четырехполюсника, соединяющие отдельные пары его узлов, а соответствующие пути модуль-графа Г четырехполюсника условимся обозначать аналогич­ным образом. Заметим, что идеальный источник напряжения Е содержит узлы α и β четырехполюсника. Обозначим: А — блочная группа графа рассматриваемой схемы при коротком замы­кании зажимов источника напряжения, ∆ — детерминантная функция блочной группы А (равная определителю матрицы узловых проводимостей рассматриваемой схемы).

На основании формулы Персиваля коэффициент передачи напряжения Кас четырехполюсника равен

(24)

где Za, Zb, . . ., Zf — импедансы четырехполюсника, измеренные между конечными узлами соответствующих путей. Подставив в выражение (24)

,

где и т. д., получим у

(25)

или

, (26)

где Аа Aa, Ab Ab и т. д.

Числитель выражения (26) содержит четыре блочные группы, которые можно поделить на 24 — 1 частей х1, x2, ...,х15, составив таблицу.

Таблица 1

На основании закона для циклов можем написать (см. рис. 11)

Ae + Af + Ab + Ad = 0,

тогда

х2=х3 = х4 = х5 = х12 =х13 = х14 = х15 = 0

(это видно из нижней строки табл. 1). В соответствии с табл. 1 напишем

причем

следовательно,

(27)

Каждое из выражений (24) — (27) содержит пять разных величин, необходимых для расчета Кас.

Каким образом уменьшить число этих величин?

При выводе формулы (27) было применено правило циклов для контура, состоящего из четырех путей: b, d, e, f. Теперь используем это правило для всех независимых контуров, состоя­щих из трех путей: (с, d, f), (a, d, e) и (а, b, f) (рис. 11). Имеем

Ас + Ad + Af = 0, (a)

Aa+Ad + Aе = 0, (б)

Аа + Ab+Af = 0. (в)

Для этих блочных групп составим таблицу частей, аналогичную табл. 1.

Таблица 2

Используя уравнение (а), находим

х1=х5 = х6 = х7 = х8 =х13 = х14 = х15 = 0

(это показано в нижней строке табл. 2).

Из уравнения (б) следует, что

Ае = Аа + Ad х1 + х9 + х11 + х12,

а из (в) —

Аь = Аа + Af x2 + x10 + х11 + х12.

В результате имеем

= 2x3 + x4 + x9 + x10 + 2x11 + x12,

= 2х2 + x4 + x9 + x10 + 2х11 + х12,

поэтому

Из табл. 2 вытекает